Considere as séries abaixo
\begin{gathered} S(i)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, \quad \text { onde }\left\{\begin{array}{l} a_{2 k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}-1} \\\ a_{2 k+1}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+1} \end{array}\right. \\\ S(i i)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{gathered}
e sejam T_{16}(i) e T_{16}(i i) as somas dos 16 primeiros termos de cada uma das respectivas séries S(i) e S(i i) acima. Assinale a alternativa correta.
(a) A soma T_{16}(i) não aproxima o valor da série S(i) com \mid erro \mid inferior a 1 / 4, mas a soma T_{16}(i i) aproxima sim o valor da série S(i i) com \mid erro \mid inferior a 1 / 4.
(b) A soma T_{16}(i) aproxima o valor da série S(i), por falta, com \mid erro \mid inferior a 1 / 4, e a soma T_{16}(i i) aproxima o valor da série S(i i), por falta, com |erro| inferior a 1 / 4.
(c) A soma T_{16}(i) aproxima sim o valor da série S(i) com |erro| inferior a 1 / 4, mas a soma T_{16}(i i) não aproxima o valor da série S(i i) com \mid erro \mid inferior a 1 / 4.
(d) Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
(e) A soma T_{16}(i) aproxima o valor da série S(i), por excesso, com |erro| inferior a 1 / 4, e a soma T_{16}(i i) aproxima o valor da série S(i i), por excesso, com |erro| inferior a 1 / 4.

Passo 1

O enunciado dá duas séries e pede, comparando com as somas parciais de 16 termos, qual alternativa é correta entre (a)–(e). Informações relevantes do enunciado:
\begin{gathered} S(i)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n},\quad \text{onde}\; \left\{\begin{array}{l} a_{2k}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1}-1},\\[6pt] a_{2k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+1} \end{array}\right.\\[4pt] S(ii)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n}} \end{gathered}
Observações úteis que extraio do enunciado (sem resolver ainda): o termo geral de S(i) tem expressão diferente para índices pares e ímpares; a série S(ii) está escrita com n=0 no índice, o que tornaria \dfrac{1}{\sqrt{n}} indefinido em n=0, portanto vou assumir (como é natural e comum nesses exercícios) que a soma começa em n=1, isto é
S(ii)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
O que o enunciado pergunta implicitamente: se as somas parciais T_{16}(i) e T_{16}(ii) aproximam os valores (limites) das séries com erro absoluto inferior a 1/4, e se a aproximação é por excesso ou por falta quando aplicável.]

Passo 2

Estratégia para S(i). Vou estudar a convergência de S(i). Uma técnica natural quando os termos aparecem em formas diferentes para índices pares e ímpares é agrupar termos consecutivos em pares (\text{ímpar},\text{par})í. Isso transforma a soma alternada numa soma de diferenças de pares, o que frequentemente revela o comportamento assintótico. Então considero, para k\ge 1,
\text{par }k:\quad a_{2k-1}-a_{2k}.
Escrevo explicitamente essas duas parcelas usando as fórmulas dadas para a_{2k-1} e a_{2k}.

Passo 3

Expressão do par P_k. Para k\ge 1 temos (usar a definição com troca de índice descrita no Passo 1)
a_{2k-1}=\dfrac{1}{\sqrt{k}+1},\qquad a_{2k}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1}-1}.
Logo o par
P_k=a_{2k-1}-a_{2k}=\dfrac{1}{\sqrt{k}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}-1}.
Para estudar a soma das parcelas pares \sum_{k=1}^\infty P_k (que coincide com as somas parciais com número par de termos da série original), vou obter o comportamento assintótico de P_k quando k\to\infty.

Passo 4

Simplificação útil e cálculo do comportamento assintótico de P_k. Observação prática: para grande k os dois termos têm ordem \sim 1/\sqrt{k}, então pode haver cancelamento e precisamos do termo dominante da diferença. Calculo kP_k porque isso torna a comparação com \dfrac{1}{k} direta:
kP_k = \dfrac{k}{\sqrt{k}+1} - \big(\sqrt{k+1}+1\big).
Reescrevo o primeiro termo como
\dfrac{k}{\sqrt{k}+1}=\sqrt{k}\cdot\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}=\sqrt{k}-\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}.
Subtraindo \sqrt{k+1}+1 obtemos
kP_k = \Big(\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\Big) -1 - \dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}.
Agora uso a identidade de diferença de raízes:
\sqrt{k}-\sqrt{k+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}.
Portanto
kP_k = -\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} -1 - \dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}.

Passo 5

Limite de kP_k e conclusão sobre P_k. Tomando k\to\infty na expressão do Passo 4:
  • \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\to 0,
  • \dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}\to 1.
    Logo
\lim_{k\to\infty} kP_k = -0 -1 -1 = -2.
Isto implica que, quando k é grande,
P_k \sim -\dfrac{2}{k}.
Como a série \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k} diverge (harmônica), a série \sum_{k=1}^\infty P_k diverge para -\infty (os termos P_k são, para k grande, aproximadamente -2/k). Como as somas parciais com número par de termos da série original são exatamente somas \sum_{k=1}^m P_k, concluímos que S(i) diverge (não converge para um número finito).

Passo 6

Implicação prática para T_{16}(i). Como S(i) não converge (suas somas parciais tendem a -\infty), não existe um número-limite finito para a série que a soma parcial T_{16}(i) poderia aproximar. Portanto a afirmação "a soma T_{16}(i) aproxima o valor da série S(i) com erro inferior a 1/4" é falsa — não há valor limite finito a ser aproximado. Em particular, é correto dizer que T_{16}(i) não aproxima o valor da série S(i) com erro absoluto inferior a 1/4.

Passo 7

Estudo de S(ii). Assumindo que o índice começa em n=1, temos a série alternada
S(ii)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Aplico o critério de Leibniz (teste da série alternada): se \{b_n\} é uma sequência positiva, monótona decrescente e b_n\to 0, então \sum (-1)^{n+1} b_n converge; além disso, o resto após N termos satisfaz
|R_N|\le b_{N+1}.
No nosso caso b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é positiva, monotonicamente decrescente para n\ge1 e tende a 0. Logo S(ii) converge (condicionalmente) e o erro ao truncar em N termos satisfaz |R_N|\le \dfrac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 8

Aplicação do critério ao caso N=16. Para T_{16}(ii) (16 primeiros termos) temos a estimativa do resto
|S(ii)-T_{16}(ii)|\le \dfrac{1}{\sqrt{17}}.
Calculo aproximado: \dfrac{1}{\sqrt{17}}\approx 0,2425\ldots, que é menor que 1/4=0,25. Portanto a soma T_{16}(ii) aproxima o valor da série S(ii) com erro absoluto inferior a 1/4.
Além disso, sobre excesso/falta: para uma série alternada com b_n decrescente e b_1>0, a soma parcial com número par de termos subestima o valor da soma (está “por falta”), e a com número ímpar superestima (está “por excesso”). Aqui N=16 é par, então T_{16}(ii) é uma aproximação por falta.

Passo 9

Conclusão sobre as alternativas. Resumo:
  • Para S(i): diverge, logo T_{16}(i) não aproxima um valor finito com erro absoluto inferior a 1/4.
  • Para S(ii): converge; T_{16}(ii) aproxima por falta e o erro absoluto é \le 1/\sqrt{17}<1/4.
Comparando com as alternativas dadas, a que descreve corretamente os dois fatos é a alternativa (a).

Resposta

(a)

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