Quanto à convergência das séries
(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right),
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}},
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n}}{\sqrt{n}}
é correto afirmar que:
(a) Somente (a) converge.
(b) Somente (b) converge.
(c) Somente (c) converge.
(d) Somente (c) não converge.
(e) Somente (a) não converge.
(f) Somente (b) não converge.
Passo 1
Enunciado: temos três séries e a pergunta é quais convergem:
(a) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n}}{\sqrt{n}}
Informações relevantes dadas:
Em (a) o termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\left(1-\cos\frac{1}{n}\right). A parte não alternante (magnitude) é 1-\cos\frac{1}{n}, que é positiva para todo n.
Em (b) o termo geral é b_n = (-1)^n n^{-1/2}.
Em (c) o termo geral é c_n = (-1)^{2n} n^{-1/2}. Note que (-1)^{2n}=1 para todo n, então os sinais caem.
A tarefa: decidir convergência (absoluta ou condicional) de cada série e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Conceitos e testes que vamos usar (explicados de forma simples):
Convergência de uma série: a série \sum x_n converge se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^N x_n têm limite finito quando N\to\infty.
Convergência absoluta: \sum x_n converge absolutamente se \sum |x_n| converge. Se converge absolutamente, converge (simplesmente) também.
Convergência condicional: quando \sum x_n converge mas \sum |x_n| diverge.
Teste da série p (p-series): \sum \frac{1}{n^p} converge se, e somente se, p>1. Se p\le1 diverge.
Teste de Leibniz (alternating series test): se uma sequência positiva (u_n) é monotona decrescente com \lim_{n\to\infty} u_n = 0, então \sum (-1)^n u_n (ou \sum (-1)^{n+1} u_n) converge. Esse teste dá convergência, mas não garante convergência absoluta.
Passo 3
Ferramenta útil para (a): desenvolvimento de Taylor pequeno para \cos x. Para x pequeno,
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4).
Isso implica, para x real qualquer, a desigualdade
1-\cos x \le \frac{x^2}{2}.
Aplicando com x=\frac{1}{n} obtemos
1-\cos\frac{1}{n} \le \frac{1}{2n^2}.
Essa desigualdade é a base para comparar a série de (a) com uma p-série.
Passo 4
Análise da série (a) usando a desigualdade do passo anterior:
Usando 1-\cos\frac{1}{n} \le \dfrac{1}{2n^2} temos a comparação
0 \le 1-\cos\frac{1}{n} \le \frac{1}{2n^2}.
Como \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2n^2} = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} converge (pelo teste p com p=2>1), pela comparação segue que
\sum_{n=1}^\infty \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)
converge.
Conclusão para (a): \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right) converge absolutamente (portanto converge).
Observação intuitiva: os termos 1-\cos\frac{1}{n} têm ordem assintótica \sim \dfrac{1}{2n^2}, ou seja, decaem como 1/n^2, o que é rápido o suficiente para dar soma finita.
Passo 5
Análise da série (b):
Escrevo o módulo dos termos: u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} = n^{-1/2}. Primeiro verifico o limite: