Dada a sequência (
) mostre que se ambas as subsequências (
) e
convergem para
então a sequência (
) também converge para
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dá-se uma sequência
. - Dá-se que as subsequências compostas pelos termos de índice ímpar e pelos termos de índice par convergem para o mesmo número
; isto é: - a subsequência
converge para ; - a subsequência
converge para .
- a subsequência
- Pede-se mostrar que, sob essas hipóteses, a sequência inteira
também converge para .
Passo 2
Definição precisa de convergência (a ferramenta que vamos usar).
- Dizemos que a sequência
converge para se, dado qualquer , existe um tal que, para todo , vale . - Aqui
é a tolerância (quão perto queremos de ) e é um índice após o qual todos os termos da sequência ficam dentro dessa tolerância.
Essa é a definição que transformaremos em prova formal.
Passo 3
Escrever o que a convergência das subsequências nos dá em termos da definição
-
.
- Como
converge para , então: para todo existe tal que, para todo , vale
- Como
converge para , então: para todo existe tal que, para todo , vale
Aqui
é o índice natural que percorre as subsequências (por exemplo,
corresponde a
ou
,
a
ou
, etc.).
Passo 4
Escolher um único
útil para controlar ambos os casos (índices pares e ímpares).
- Defina
. Assim é um inteiro tal que, se , tanto quanto valem. - Agora tome
. Vou mostrar por que esse funciona para a sequência inteira: para qualquer teremos que ou é par ( ) ou é ímpar ( ) e, em ambos os casos, o respectivo será grande o suficiente para aplicar as desigualdades acima.
Passo 5
Verificar o caso
par com o
escolhido.
- Suponha
e par. Então existe com . - Como
temos , então . Pelo fato de segue
Passo 6
Verificar o caso
ímpar com o
escolhido.
- Suponha
e ímpar. Então existe com . - Como
temos , isto é , portanto . Como é inteiro segue , em particular . Pelo fato de segue
Passo 7
Concluir a prova usando a definição.
- Mostramos que para qualquer
existe tal que, para todo , vale . - Isso é exatamente o conteúdo da definição de convergência: portanto
converge para .
Passo 8
Intuição rápida e exemplo para fixar (pep talk).
- Intuitivamente: depois de algum índice, todos os termos ímpares estão perto de
e todos os termos pares estão perto de . Junta-se isso e, depois de um índice suficientemente grande, qualquer termo (par ou ímpar) estará perto de . - Exemplo simples:
. As subsequências par e ímpar tendem ambas para (porque ), logo toda a sequência tende para . Isso é um caso concreto que segue a prova geral que fizemos.
Resposta
A sequência
converge para
.