Dada a sequência ( a_{n} ) mostre que se ambas as subsequências ( a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots ) e \left(a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots\right) convergem para a então a sequência ( a_{n} ) também converge para a.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá-se uma sequência (a_n).
  • Dá-se que as subsequências compostas pelos termos de índice ímpar e pelos termos de índice par convergem para o mesmo número a; isto é:
    • a subsequência (a_1,a_3,a_5,\ldots) converge para a;
    • a subsequência (a_2,a_4,a_6,\ldots) converge para a.
  • Pede-se mostrar que, sob essas hipóteses, a sequência inteira (a_n) também converge para a.

Passo 2

Definição precisa de convergência (a ferramenta que vamos usar).
  • Dizemos que a sequência (a_n) converge para a se, dado qualquer \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-a|<\varepsilon.
  • Aqui \varepsilon é a tolerância (quão perto queremos de a) e N é um índice após o qual todos os termos da sequência ficam dentro dessa tolerância.
    Essa é a definição que transformaremos em prova formal.

Passo 3

Escrever o que a convergência das subsequências nos dá em termos da definição \varepsilon- N.
  • Como (a_1,a_3,a_5,\ldots) converge para a, então: para todo \varepsilon>0 existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge N_1, vale
|a_{2k-1}-a|<\varepsilon.
  • Como (a_2,a_4,a_6,\ldots) converge para a, então: para todo \varepsilon>0 existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge N_2, vale
|a_{2k}-a|<\varepsilon.
Aqui k é o índice natural que percorre as subsequências (por exemplo, k=1 corresponde a a_1 ou a_2, k=2 a a_3 ou a_4, etc.).

Passo 4

Escolher um único N útil para controlar ambos os casos (índices pares e ímpares).
  • Defina K=\max(N_1,N_2). Assim K é um inteiro tal que, se k\ge K, tanto |a_{2k-1}-a|<\varepsilon quanto |a_{2k}-a|<\varepsilon valem.
  • Agora tome N=2K. Vou mostrar por que esse N funciona para a sequência inteira: para qualquer n\ge N teremos que n ou é par ( n=2k) ou é ímpar ( n=2k-1) e, em ambos os casos, o respectivo k será grande o suficiente para aplicar as desigualdades acima.

Passo 5

Verificar o caso n par com o N escolhido.
  • Suponha n\ge N e n par. Então existe k\in\mathbb{N} com n=2k.
  • Como n\ge 2K temos 2k\ge 2K, então k\ge K. Pelo fato de k\ge K\ge N_2 segue
|a_n-a| = |a_{2k}-a| < \varepsilon.

Passo 6

Verificar o caso n ímpar com o N escolhido.
  • Suponha n\ge N e n ímpar. Então existe k\in\mathbb{N} com n=2k-1.
  • Como n\ge 2K temos 2k-1\ge 2K, isto é 2k\ge 2K+1, portanto k\ge K+ \tfrac{1}{2}. Como k é inteiro segue k\ge K+1, em particular k\ge K. Pelo fato de k\ge K\ge N_1 segue
|a_n-a| = |a_{2k-1}-a| < \varepsilon.

Passo 7

Concluir a prova usando a definição.
  • Mostramos que para qualquer \varepsilon>0 existe N=2\max(N_1,N_2) tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-a|<\varepsilon.
  • Isso é exatamente o conteúdo da definição de convergência: portanto (a_n) converge para a.

Passo 8

Intuição rápida e exemplo para fixar (pep talk).
  • Intuitivamente: depois de algum índice, todos os termos ímpares estão perto de a e todos os termos pares estão perto de a. Junta-se isso e, depois de um índice suficientemente grande, qualquer termo (par ou ímpar) estará perto de a.
  • Exemplo simples: a_n = a + \dfrac{(-1)^n}{n}. As subsequências par e ímpar tendem ambas para a (porque 1/n\to 0), logo toda a sequência tende para a. Isso é um caso concreto que segue a prova geral que fizemos.

Resposta

A sequência (a_n) converge para a.

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