Seja ( x_{n} ) uma sequência e a \in \mathbb{R}. Mostre que se \lim x_{n}=a, então \lim \left|x_{n}\right|=|a|. Dê um exemplo em que a recíproca em geral é falsa, isto é, exiba uma sequência divergente ( x_{n} ) tal que ( \left|x_{n}\right| ) seja uma sequência convergente.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência (x_{n}) e um número real a. Pede duas coisas:
Mostrar que se \lim x_{n}=a então \lim |x_{n}|=|a|.
Dar um exemplo que mostra que a recíproca, em geral, é falsa: isto é, exibir uma sequência (x_{n}) que diverge mas tal que (|x_{n}|) converge.
As informações relevantes fornecidas são:
Há uma sequência (x_{n}).
Há um número real a.
Está assumido, na primeira parte, que \lim x_{n}=a (ou seja, a sequência converge para a).
Precisa-se concluir sobre a sequência (|x_{n}|) e também fornecer um exemplo para a segunda parte.
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite de sequência (essa é a ferramenta que vamos usar, explícita e limpinha).
Definição (forma \varepsilon–N): Dizemos que \lim x_{n}=a se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-a|<\varepsilon.
O que queremos provar é: para todo \varepsilon>0 existe um N tal que, para todo n\ge N,
\big||x_{n}|-|a|\big|<\varepsilon.
Portanto a estratégia natural é relacionar \big||x_{n}|-|a|\big| com |x_{n}-a| de forma que a hipótese |x_{n}-a|<\varepsilon implique a desigualdade desejada.
Passo 3
Vamos provar a desigualdade útil que liga diferença de valores absolutos e diferença dos números:
para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale
\big||x|-|y|\big|\le |x-y|.
Prova dessa desigualdade (passo a passo):
Pela desigualdade triangular, para quaisquer x,y,
|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|.
Isto implica
|x|-|y|\le |x-y|.
Troque x por y e y por x na mesma desigualdade para obter
|y|-|x|\le |y-x|=|x-y|.
Das duas desigualdades anteriores segue
-|x-y|\le |x|-|y|\le |x-y|.
Isto é exatamente
\big||x|-|y|\big|\le |x-y|.
Essa é a ferramenta chave: a diferença entre os módulos é controlada pela diferença entre os números.
Passo 4
Agora aplique a desigualdade ao caso x=x_{n} e y=a. Obtemos, para todo n,
\big||x_{n}|-|a|\big|\le |x_{n}-a|.
Escolha um \varepsilon>0 arbitrário. Como \lim x_{n}=a, pela definição de limite existe N tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-a|<\varepsilon.
Pela desigualdade anterior, para todo n\ge N segue
\big||x_{n}|-|a|\big|\le |x_{n}-a|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente, pela definição de limite, que \lim |x_{n}|=|a|. Portanto a implicação pedida está provada.
(Dica prática para prova na prova: basta recordar e escrever a desigualdade \big||x|-|y|\big|\le |x-y| e aplicar a definição \varepsilon-N.)
Passo 5
Agora o exemplo que mostra que a recíproca é falsa em geral.
Considere a sequência
x_{n}=(-1)^{n}.
Para n par tem x_{n}=1; para n ímpar tem x_{n}=-1. Assim a sequência não se aproxima de um único número: ela oscila entre 1 e -1. Portanto (x_{n}) é divergente (não tem limite).
Porém |x_{n}|=1 para todo n. Assim a sequência (|x_{n}|) é constante igual a 1, logo converge e seu limite é 1.
Esse exemplo atende ao pedido: (x_{n}) diverge, mas (|x_{n}|) converge.
Resposta
Se \lim x_{n}=a então \lim |x_{n}|=|a|.
Exemplo: x_{n}=(-1)^{n} é divergente e |x_{n}|=1 para todo n, logo (|x_{n}|) converge (para 1).