Dada uma sequência de números positivos x_{n} com \lim x_{n}=a, prove que \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \ldots x_{n}}=a.

Passo 1

O enunciado diz que (x_n) é uma sequência de números reais positivos com
\lim_{n\to\infty} x_n = a.
Queremos mostrar que a média geométrica
G_n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
também converge para a.
Conteúdo principal: usar a função logaritmo para transformar a média geométrica em média aritmética e então aplicar o Teorema de Cesàro, além da continuidade de \ln.

Passo 2

Definimos
G_n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n},
onde cada x_k>0. Tome o logaritmo natural de G_n:
\ln G_n = \ln\bigl((x_1 x_2 \cdots x_n)^{1/n}\bigr) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln x_k.

Passo 3

Como x_n\to a e \ln é contínua em (0,\infty), segue que
\ln x_n \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\ln a.

Passo 4

Pelo Teorema de Cesàro, se uma sequência t_n converge para L, então a média aritmética \tfrac1n\sum_{k=1}^n t_k também converge para L. Aplicando com
t_k = \ln x_k,\quad L = \ln a,
vemos que
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln x_k \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\ln a.
Logo
\ln G_n \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\ln a.

Passo 5

Aplicando a função exponencial, que é contínua, obtemos
G_n = e^{\ln G_n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; e^{\ln a} = a.

Resposta

\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = a.

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