Dada uma sequência de números positivos x_{n} com \lim x_{n}=a, prove que \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \ldots x_{n}}=a.
Passo 1
O enunciado diz que (x_n) é uma sequência de números reais positivos com
\lim_{n\to\infty} x_n = a.
Queremos mostrar que a média geométrica
G_n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
também converge para a.
Conteúdo principal: usar a função logaritmo para transformar a média geométrica em média aritmética e então aplicar o Teorema de Cesàro, além da continuidade de \ln.