Em um circuito RLC com força eletromotriz ligada a partir do instante t=7, a carga q(t) no capacitor satizfaz o p.v.i.:
q^{\prime \prime}(t)+4 q^{\prime}(t)+3 q(t)=u_{7}(t) 10 e^{-2(t-7)}
\operatorname{com} q(0)=2 e q^{\prime}(0)=-2.
(a) [\mathbf{2}, \mathbf{0}] Determine a transformada de Laplace da solução q(t) do p.v.i.;
(b) [\mathbf{2 , 0}] via transformada de Laplace, determine a solução q(t) do p.v.i.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o p.v.i.
q''(t)+4q'(t)+3q(t)=u_{7}(t)\,10\,e^{-2\,(t-7)},
com condições iniciais q(0)=2 e q'(0)=-2. O conteúdo é solução de EDO linear com segunda ordem, usando a transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, usando \mathcal L\{q''\}=s^2Q(s)-s\,q(0)-q'(0) e \mathcal L\{q'\}=s\,Q(s)-q(0), obtemos
s^2Q(s)-s\cdot2-(-2)+4\bigl(sQ(s)-2\bigr)+3Q(s) =\mathcal L\{u_{7}(t)\,10e^{-2(t-7)}\}.
No LHS:
s^2Q(s)-2s+2+4sQ(s)-8+3Q(s) =Q(s)\bigl(s^2+4s+3\bigr)-2s-6.

Passo 3

Para o RHS usamos a propriedade de deslocamento: se f(t)=10e^{-2t} então
\mathcal L\{u_{7}(t)\,10e^{-2(t-7)}\} =e^{-7s}\,\frac{10}{s+2}.

Passo 4

Igualando LHS e RHS:
Q(s)\bigl(s^2+4s+3\bigr)-2s-6 =\frac{10\,e^{-7s}}{s+2},
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Q(s) =\frac{2s+6}{s^2+4s+3} +\frac{10\,e^{-7s}}{(s+2)(s^2+4s+3)}.
Como s^2+4s+3=(s+1)(s+3) e 2s+6=2(s+3), tem-se
\frac{2s+6}{s^2+4s+3} =\frac{2}{s+1},
então
Q(s) =\frac{2}{s+1} +\frac{10\,e^{-7s}}{(s+2)(s+1)(s+3)}.

Passo 5

Para inverter a segunda fração fazemos frações parciais:
\frac{10}{(s+2)(s+1)(s+3)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Anulando em s=-1,-2,-3 obtém-se
A=5,\quad B=-10,\quad C=5,
isto é
\frac{10}{(s+2)(s+1)(s+3)} =\frac{5}{s+1}-\frac{10}{s+2}+\frac{5}{s+3}.

Passo 6

Invertendo cada termo:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s+1}\Bigr\}=2e^{-t}, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{5}{s+1}-\tfrac{10}{s+2}+\tfrac{5}{s+3}\Bigr\} =5e^{-t}-10e^{-2t}+5e^{-3t}.
Pelo deslocamento, a parte com e^{-7s} vira u_{7}(t) vezes essa expressão em t-7. Logo
q(t)=2e^{-t} +u_{7}(t)\Bigl[5e^{-(t-7)}-10e^{-2(t-7)}+5e^{-3(t-7)}\Bigr].

Resposta

(a) \displaystyle Q(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{10\,e^{-7s}}{(s+2)(s+1)(s+3)}.
(b) \displaystyle q(t)=2e^{-t}+u_{7}(t)\bigl[5e^{-(t-7)}-10e^{-2(t-7)}+5e^{-3(t-7)}\bigr].

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