Considere g(t)=f\left(e^{3 t}, 5 t^{4}+t^{2}, \cos t\right), onde f é uma função com derivadas parciais contínuas.
(a) Expresse g^{\prime}(t) em termos das derivadas parciais de f.
(b) Calcule g^{\prime}(0) sabendo que \frac{\partial f}{\partial x}(1,0,1)=\frac{1}{6}.

Passo 1

O enunciado define
g(t)=f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) \quad\text{com}\quad x(t)=e^{3t},\; y(t)=5t^{4}+t^{2},\; z(t)=\cos t,
e pede:
(a) expressar g'(t) em termos das derivadas parciais de f, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis;
(b) calcular g'(0) sabendo que \frac{\partial f}{\partial x}(1,0,1)=\tfrac16.

Passo 2

Vamos primeiro derivar cada componente interna:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{3t}\bigr)=3e^{3t},\quad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5t^{4}+t^{2}\bigr)=20t^{3}+2t,\quad z'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t.

Passo 3

Pela regra da cadeia para g(t)=f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr), temos
g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,y'(t) +\frac{\partial f}{\partial z}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t).
Substituindo x'(t), y'(t) e z'(t),
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr)\;3e^{3t} + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr)\;(20t^{3}+2t) - \frac{\partial f}{\partial z}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr)\;\sin t.

Passo 4

Para t=0 calculamos as variáveis internas:
x(0)=e^{0}=1,\quad y(0)=0,\quad z(0)=\cos0=1,
e as derivadas internas em t=0:
x'(0)=3,\quad y'(0)=0,\quad z'(0)=0.

Passo 5

Em t=0 só o termo com \partial f/\partial x sobrevive, pois y'(0)=z'(0)=0. Logo
g'(0) = \frac{\partial f}{\partial x}(1,0,1)\cdot 3 = \frac{1}{6}\cdot 3 = \tfrac12.

Resposta

(a)
g'(t) =3e^{3t}\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr) +(20t^{3}+2t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr) -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial z}\bigl(e^{3t},5t^{4}+t^{2},\cos t\bigr).
(b)
g'(0)=\tfrac12.

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