(2 p) Para uma dada substância, o potencial de Lennard-Jones pode ser escrito da forma V_{\mathrm{LJ}}(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^{6}}\\, onde \(A=3,228 \cdot 10^{-8} \AA^{12} \mathrm{eV}\, e \(B=1,610 \cdot 10^{-4} \AA^{6} \mathrm{eV}. Determine a distância intermolecular “preferida” nesta substância.
Escolha uma opção:
\bigcirc 0,1935 \AA
\bigcirc 0,2716 \AA
\bigcirc 0,24193 \AA
\bigcirc 0,3629 \AA)

Passo 1

O enunciado pede a “distância intermolecular preferida” para a substância dada, ou seja, a separação r onde o potencial de Lennard-Jones
V_{\mathrm{LJ}}(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^{6}}
atinge um mínimo. As constantes fornecidas são
A=3,228\cdot 10^{-8}\\ \AA^{12}\mathrm{eV},\qquad B=1,610\cdot 10^{-4}\\ \AA^{6}\mathrm{eV}.
A tarefa é calcular esse r numérico e escolher dentre as opções dadas.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): a “distância preferida” corresponde ao mínimo do potencial. Para encontrar mínimo de uma função de uma variável, igualamos a derivada a zero (ponto crítico) e checamos que é mínimo. Aqui vamos calcular a derivada de V_{\mathrm{LJ}}(r) em relação a r, igualá-la a zero e resolver para r.
Derivando termo a termo (lembre que \frac{d}{dr} r^{-n} = -n r^{-n-1}):
\frac{dV_{\mathrm{LJ}}}{dr} = \frac{d}{dr}\!\left(A r^{-12} - B r^{-6}\right) = -12A r^{-13} + 6B r^{-7}.
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
-12A r^{-13} + 6B r^{-7} = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação para r. Reescrevendo:
12A r^{-13} = 6B r^{-7}.
Dividindo ambos os lados por 6 r^{-13} (não podemos dividir por zero, mas r não é zero fisicamente):
2A = B r^{6}.
Isolando r:
r^{6} = \frac{2A}{B},\qquad r = \left(\frac{2A}{B}\right)^{1/6}.
Observação de unidades: A tem unidade \AA^{12}\mathrm{eV} e B tem \AA^{6}\mathrm{eV}, então \frac{2A}{B} tem unidade \AA^{6} e a raiz sexta dá \AA, como esperado.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \frac{2A}{B}:
2A = 2\cdot 3,228\cdot 10^{-8} = 6,456\cdot 10^{-8}.
\frac{2A}{B} = \frac{6,456\cdot 10^{-8}}{1,610\cdot 10^{-4}} = \frac{6,456}{1,610}\cdot 10^{-8-(-4)} = 4,00994\cdot 10^{-4}.

Passo 5

Agora calculamos a raiz sexta:
r = \left(4,00994\cdot 10^{-4}\right)^{1/6}.
Uma forma prática de calcular é usar propriedades de potências: se x= m\cdot 10^{e} então x^{1/6}=m^{1/6}\cdot 10^{e/6}. Aqui m=4,00994 e e=-4, logo
r = (4,00994)^{1/6}\cdot 10^{-4/6} = (4,00994)^{1/6}\cdot 10^{-2/3}.
Calculando numericamente (usando logaritmos ou uma calculadora de bolso): (4,00994)^{1/6}\approx 1,2599 e 10^{-2/3}\approx 0,21544. Multiplicando:
r \approx 1,2599\times 0,21544 \approx 0,2716\\ \AA.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: r tem dimensão de comprimento ( \AA), o valor é positivo e está entre as opções fornecidas. Portanto a distância intermolecular preferida (mínimo do potencial) é aproximadamente 0,2716\\ \AA.

Resposta

0,2716\\ \AA

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