(1 p) Qual é a pressão dentro de uma bolha de água de 3 \mu \mathrm{~m} de diâmetro no ar numa temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}, quando a pressão do ar fora da bolha é 101325 Pa ?
Nesta temperatura a tensão superficial água-ar é 75,6 \frac{\mathrm{mN}}{\mathrm{m}}.
Escolha uma opção:
\bigcirc 400925 Pa
\bigcirc 302925 Pa
\bigcirc 301058 Pa
\bigcirc 392525 Pa

Passo 1

O enunciado pede a pressão dentro de uma bolha de água de diâmetro \,3\,\mu\mathrm{m}\, no ar à temperatura 0^\circ\mathrm{C}, sabendo que a pressão do ar fora da bolha é \,101325\\ \mathrm{Pa}\, e que a tensão superficial água-ar é \,\;75{,}6\\ \mathrm{mN/m}\,. Dados relevantes:
\text{diâmetro }=3\,\mu\mathrm{m}, \qquad p_{\text{fora}}=101325\\ \mathrm{Pa}, \qquad \gamma=75{,}6\\ \mathrm{mN/m}.â

Passo 2

Conceito importante: a tensão superficial faz com que uma superfície curva mantenha uma diferença de pressão entre os dois lados da superfície. Para uma superfície esférica simples (apenas uma interface líquido-ar), a equação de Laplace dá:
\Delta p \equiv p_{\text{dentro}}-p_{\text{fora}}=\frac{2\gamma}{R},
onde \gamma é a tensão superficial (unidade \mathrm{N/m}) e R é o raio da esfera (unidade \mathrm{m}). Aqui \Delta p é a diferença de pressão causada pela curvatura.
Explicando com calma: a fórmula aparece porque cada pequena mudança de área da superfície custa energia \gamma\,\mathrm{d}A; equilíbrio mecânico entre essa energia e o trabalho da pressão leva a essa relação. Para uma esfera, os dois raios principais são iguais a R, por isso aparece 2\gamma/R.

Passo 3

No caso de uma bolha formada por uma película de líquido muito fina (como uma bolha de sabão ou, neste enunciado, uma “bolha de água” como película esférica), existem duas interfaces água–ar: a interface interna (lado do ar interno) e a interface externa (lado do ar externo). Cada interface contribui com \tfrac{2\gamma}{R} para a diferença de pressão total, então somamos as contribuições:
\Delta p = p_{\text{dentro}}-p_{\text{fora}}=\frac{2\gamma}{R}+\frac{2\gamma}{R}=\frac{4\gamma}{R}.
Observação didática: é por isso que bolhas de filme delgado têm uma sobrepressão maior que gotas maciças — há duas superfícies.

Passo 4

Convertemos os dados para unidades do SI e calculamos \Delta p.
Raio:
R=\frac{\text{diâmetro}}{2}=\frac{3\,\mu\mathrm{m}}{2}=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.â
Tensão superficial em SI:
\gamma=75{,}6\\ \mathrm{mN/m}=75{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{N/m}.
Aplicamos a fórmula \displaystyle \Delta p=\frac{4\gamma}{R}:
\Delta p=\frac{4\cdot\left(75{,}6\times10^{-3}\right)}{1{,}5\times10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo:
4\gamma=4\cdot75{,}6\times10^{-3}=302{,}4\times10^{-3}=0{,}3024\\ \mathrm{N/m},
\Delta p=\frac{0{,}3024}{1{,}5\times10^{-6}}=0{,}2016\times10^{6}=201600\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

A pressão absoluta dentro da bolha é a pressão externa mais a sobrepressão:
p_{\text{dentro}}=p_{\text{fora}}+\Delta p=101325+\;201600\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

302925 Pa

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