1. Dada a sucessão de números: (2 ; 2+\sqrt{2} ; 2+2 \sqrt{2} ; 2+3 \sqrt{2} ; 2+4 \sqrt{2} ; \ldots)
    a. Determina o termo geral.
    b. Calcula a soma dos seis primeiros termos.
    c. Analisa a monotonia da progressão.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
2,\;2+\sqrt{2},\;2+2\sqrt{2},\;2+3\sqrt{2},\;2+4\sqrt{2},\;\dots
e pede:
  • (a) termo geral;
  • (b) soma dos seis primeiros termos;
  • (c) análise de monotonia.
    O conteúdo aqui é de progressão aritmética, em que precisamos identificar o primeiro termo e a razão.

Passo 2

Identificamos que o primeiro termo é
a_1 = 2
e que a diferença entre termos consecutivos é sempre
d = \sqrt{2}.
Numa progressão aritmética, o termo geral é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Logo,
a_n = 2 + (n-1)\,\sqrt{2}.

Passo 3

Para a soma dos seis primeiros termos, usamos
S_6 = a_1 + a_2 + \cdots + a_6.
Como a_k = 2 + (k-1)\sqrt{2}, temos
S_6 = \sum_{k=1}^{6}\bigl(2 + (k-1)\sqrt{2}\bigr) = 6\cdot 2 + \bigl(0+1+2+3+4+5\bigr)\sqrt{2} = 12 + 15\sqrt{2}.

Passo 4

A monotonia de uma progressão aritmética depende do sinal da razão d. Aqui d=\sqrt{2}>0, portanto a sequência é estritamente crescente.

Resposta

a. a_n = 2 + (n-1)\sqrt{2}.
b. S_6 = 12 + 15\sqrt{2}.
c. A sequência é estritamente crescente.

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