Dada a tabela verdade abaixo:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
A expressão booleana da saída S é:
a) \mathrm{S}=\mathrm{ABC}
b) \mathrm{S}=\mathrm{AB}+\mathrm{C}^{\prime}
c) \mathrm{S}=\mathrm{AC}^{\prime}+\mathrm{B}
d) S=A\left(B+C^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado dá a tabela verdade para as entradas A, B, C e a saída S. As linhas em que S=1 são:
  • (A,B,C)=(1,0,0)
  • (A,B,C)=(1,1,0)
  • (A,B,C)=(1,1,1)
O que o exercício pede é identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) corresponde à expressão booleana de S.

Passo 2

Vou montar a expressão canônica por soma de mintermos (soma de produtos) usando as linhas onde S=1.
  • A linha (1,0,0) corresponde ao mintermo A\,B'\,C'.
  • A linha (1,1,0) corresponde ao mintermo A\,B\,C'.
  • A linha (1,1,1) corresponde ao mintermo A\,B\,C.
Portanto, a expressão canônica é:
S = A\,B'\,C' + A\,B\,C' + A\,B\,C.

Passo 3

Antes de simplificar, lembrete rápido das leis de Álgebra Booleana que vou usar (com explicação simples):
  • Lei do complemento: \;X + X' = 1 e \;X\cdot X' = 0. (Sempre que algo ou seu complemento aparece somado dá 1.)
  • Identidade da soma: \;X + 0 = X. Identidade do produto: \;X\cdot 1 = X.
  • Distributiva: \;X(Y+Z)=XY+XZ e \;X+YZ=(X+Y)(X+Z). (Como fatorar ou distribuir em aritmética.)
  • Absorção (útil): \;X + X Y = X. (Se X já é verdadeiro, somar X Y não muda.)
    Essas leis permitem simplificar expressões booleanas passo a passo.

Passo 4

Vou simplificar \;S = A\,B'\,C' + A\,B\,C' + A\,B\,C.
Primeiro, fatoro A (é comum em todos os termos):
S = A\bigl(B'\,C' + B\,C' + B\,C\bigr).
Agora simplifico a expressão entre parênteses. Agrupo os dois primeiros termos que têm C' em comum:
B'\,C' + B\,C' = C'(B' + B).
Pela lei do complemento B' + B = 1, então
C'(B' + B) = C'\cdot 1 = C'.
Substituindo na soma:
B'\,C' + B\,C' + B\,C = C' + B\,C.
Restou C' + B\,C. Uso agora a identidade distributiva em forma de soma-produto (ou a técnica de fatoração inversa):
C' + B\,C = (C' + B)(C' + C).
Mas C' + C = 1, então
(C' + B)(C' + C) = (C' + B)\cdot 1 = C' + B.
Portanto o interior simplifica para B + C', e assim
S = A\bigl(B + C'\bigr).

Passo 5

Interpretação prática: \;S = A(B + C') significa que S só pode ser 1 se A=1 e, além disso, ou B=1 ou C=0 (porque C' = 1 quando C=0).
Se expandirmos para comparar com a forma soma-de-produtos:
A(B + C') = A B + A C',
e ao desenvolver A B = A B C + A B C' e A C' = A B' C' + A B C', somando tudo obtemos exatamente os mintermos \;A B' C' + A B C' + A B C — igual à expressão inicial, portanto a simplificação está correta.

Passo 6

Verificação rápida com a tabela:
  • Se A=0 então S=0 (pela forma A(\cdot)), o que confere com todas as linhas da tabela com A=0.
  • Se A=1 e B=0,C=0 então B + C' = 0 + 1 = 1 e S=1 — confere com a linha (1,0,0).
  • Se A=1 e B=1,C=0 então B + C' = 1 + 1 = 1 e S=1 — confere.
  • Se A=1 e B=1,C=1 então B + C' = 1 + 0 = 1 e S=1 — confere.
    Todos os casos batem com a tabela.

Passo 7

Comparando com as alternativas:
  • (a) \;S = A B C é falsa porque torna S=0 para (1,0,0) enquanto a tabela tem S=1 nessa linha.
  • (b) \;S = A B + C' é falsa porque, por exemplo, para (A,B,C)=(0,0,0) S=1 (já que C'=1), mas na tabela S=0 nessa linha.
  • (c) \;S = A C' + B é falsa porque, por exemplo, para (A,B,C)=(0,1,0) S=1 (já que B=1), enquanto na tabela S=0 para essa linha.
  • (d) \;S = A(B + C') é exatamente a forma que obtivemos pela simplificação, e confere com a tabela.

Resposta

d) S=A\left(B+C^{\prime}\right)

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