Dada a tabela verdade abaixo:
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
A expressão booleana da saída S é:
a)
b)
c)
d)
| A | B | C | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a tabela verdade para as entradas
,
,
e a saída
. As linhas em que
são:
O que o exercício pede é identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) corresponde à expressão booleana de
.
Passo 2
Vou montar a expressão canônica por soma de mintermos (soma de produtos) usando as linhas onde
.
- A linha
corresponde ao mintermo . - A linha
corresponde ao mintermo . - A linha
corresponde ao mintermo .
Portanto, a expressão canônica é:
Passo 3
Antes de simplificar, lembrete rápido das leis de Álgebra Booleana que vou usar (com explicação simples):
- Lei do complemento:
e . (Sempre que algo ou seu complemento aparece somado dá .) - Identidade da soma:
. Identidade do produto: . - Distributiva:
e . (Como fatorar ou distribuir em aritmética.) - Absorção (útil):
. (Se já é verdadeiro, somar não muda.)
Essas leis permitem simplificar expressões booleanas passo a passo.
Passo 4
Vou simplificar
.
Primeiro, fatoro
(é comum em todos os termos):
Agora simplifico a expressão entre parênteses. Agrupo os dois primeiros termos que têm
em comum:
Pela lei do complemento
, então
Substituindo na soma:
Restou
. Uso agora a identidade distributiva em forma de soma-produto (ou a técnica de fatoração inversa):
Mas
, então
Portanto o interior simplifica para
, e assim
Passo 5
Interpretação prática:
significa que
só pode ser
se
e, além disso, ou
ou
(porque
quando
).
Se expandirmos para comparar com a forma soma-de-produtos:
e ao desenvolver
e
, somando tudo obtemos exatamente os mintermos
— igual à expressão inicial, portanto a simplificação está correta.
Passo 6
Verificação rápida com a tabela:
- Se
então (pela forma ), o que confere com todas as linhas da tabela com . - Se
e então e — confere com a linha . - Se
e então e — confere. - Se
e então e — confere.
Todos os casos batem com a tabela.
Passo 7
Comparando com as alternativas:
- (a)
é falsa porque torna para enquanto a tabela tem nessa linha. - (b)
é falsa porque, por exemplo, para dá (já que ), mas na tabela nessa linha. - (c)
é falsa porque, por exemplo, para dá (já que ), enquanto na tabela para essa linha. - (d)
é exatamente a forma que obtivemos pela simplificação, e confere com a tabela.
Resposta
d)