Dada a transformação linear: T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, \mathrm{z})=(\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{z}, x-\mathrm{z}+\mathrm{y}, \mathrm{y}+\mathrm{z})
É CORRETO afirmar que:
a) Não é invertível.
b) Admite inversa com matriz relativa à base canônica
e pede que se escolha qual das alternativas (a)–(e) é correta. As alternativas dizem se T é invertível e, se for, qual é a matriz de T^{-1} na base canônica. Vou usar explicitamente as matrizes fornecidas nas alternativas para comparar no final:
O que preciso determinar: (1) se T é invertível; (2) se sim, qual das matrizes acima é igual a \left[T^{-1}\right] na base canônica.]
Passo 2
Primeiro passo concreto: escrever a matriz de T na base canônica. Lembre que a matriz de uma transformação linear na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores básicos \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1).
Como \det(A)= -2 \neq 0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é invertível. A alternativa (a) está errada.]
Passo 4
Agora vamos calcular explicitamente A^{-1}. Um método prático e didático para obter a matriz inversa é usar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\;|\;I]. Esse processo transforma A em I aplicando operações elementares; as mesmas operações transformam I em A^{-1}.