Dada a transformação linear:
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, \mathrm{z})=(\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{z}, x-\mathrm{z}+\mathrm{y}, \mathrm{y}+\mathrm{z})
É CORRETO afirmar que:
a) Não é invertível.
b) Admite inversa com matriz relativa à base canônica
\left[\mathrm{T}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 \\\\ -1 / 2 & -1 / 2 & 1 \end{array}\right]
c) Admite inversa com matriz relativa à base canônica
\left[\mathrm{T}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\\\ 0 & -1 / 2 & 1 \end{array}\right]
d) Admite inversa com matriz relativa à base canônica
\left[\mathrm{T}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 / 2 & -1 / 2 \\\\ -1 / 2 & -1 / 2 & 1 \end{array}\right]
e) Admite inversa com matriz relativa à base canônica
\left[\mathrm{T}^{-1}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\\\ -1 / 2 & -1 / 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(y-x+z,\;x-z+y,\;y+z)
e pede que se escolha qual das alternativas (a)–(e) é correta. As alternativas dizem se T é invertível e, se for, qual é a matriz de T^{-1} na base canônica. Vou usar explicitamente as matrizes fornecidas nas alternativas para comparar no final:
\text{(b)}\quad \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\[2pt] \dfrac12 & \dfrac12 & 1\\[2pt] -\dfrac12 & -\dfrac12 & 1 \end{pmatrix},\quad \text{\text{(c)}}\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1\\[2pt] \dfrac12 & \dfrac12 & 0\\[2pt] 0 & -\dfrac12 & 1 \end{pmatrix},
\text{(d)}\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[2pt] 1 & \dfrac12 & -\dfrac12\\[2pt] -\dfrac12 & -\dfrac12 & 1 \end{pmatrix},\quad \text{(e)}\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[2pt] \dfrac12 & \dfrac12 & 0\\[2pt] -\dfrac12 & -\dfrac12 & 1 \end{pmatrix}.
O que preciso determinar: (1) se T é invertível; (2) se sim, qual das matrizes acima é igual a \left[T^{-1}\right] na base canônica.]

Passo 2

Primeiro passo concreto: escrever a matriz de T na base canônica. Lembre que a matriz de uma transformação linear na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores básicos \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1).
Calculo as imagens:
T(\mathbf{e}_1)=T(1,0,0)=(0-1+0,\;1-0+0,\;0+0)=(-1,1,0),
T(\mathbf{e}_2)=T(0,1,0)=(1-0+0,\;0-0+1,\;1+0)=(1,1,1),
T(\mathbf{e}_3)=T(0,0,1)=(0-0+1,\;0-1+0,\;0+1)=(1,-1,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\left[T\right]=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(\mathbf{e}_1), a segunda T(\mathbf{e}_2) e a terceira T(\mathbf{e}_3).]

Passo 3

Para saber se T é invertível, calculo o determinante de A. Se \det(A)\neq0, então A (logo T) é invertível.
Calculo \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
onde a_{11}=-1,\;a_{12}=1,\;a_{13}=1.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot1=2,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot 2 - 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = -2 -1 +1 = -2.
Como \det(A)= -2 \neq 0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é invertível. A alternativa (a) está errada.]

Passo 4

Agora vamos calcular explicitamente A^{-1}. Um método prático e didático para obter a matriz inversa é usar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\;|\;I]. Esse processo transforma A em I aplicando operações elementares; as mesmas operações transformam I em A^{-1}.
Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\;A\;|\;I\;\right]= \left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para simplificar pivôs, troco a linha 1 com a linha 2 (troca de linhas é operação permitida):
\begin{array}{c} R_1\leftrightarrow R_2 \end{array} \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Elimino o elemento abaixo do pivô 1 na coluna 1 somando R_1 a R_2:
R_2 := R_2 + R_1
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora faço o pivô na segunda linha: divido R_2 por 2 para obter 1 na posição (2,2):
R_2 := \tfrac{1}{2}R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino os outros elementos na coluna 2 usando R_2:
R_1 := R_1 - R_2,\qquad R_3 := R_3 - R_2.
Aplicando:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora há um pivô 1 em (3,3). Elimino o -1 em (1,3) somando R_3 a R_1:
R_1 := R_1 + R_3
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & 1 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_3. A parte direita é, por definição, A^{-1}.]

Passo 8

Concluímos que
A^{-1}=\left[T^{-1}\right]= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] \dfrac12 & \dfrac12 & 0\\[4pt] -\dfrac12 & -\dfrac12 & 1 \end{pmatrix}.
Vou comparar com as alternativas dadas: isto coincide exatamente com a alternativa (e).]

Resposta

e)

Exercícios relacionados