A equação de uma circunferência
que passa pelos pontos
e
tangenciando exteriormente a circunferência
, é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Dois pontos pelos quais a circunferência
passa: e . - A circunferência
dada por . Portanto o centro de é e o raio de é . - A condição adicional:
tangencia exteriormente .
O que o problema pede:
- Determinar, entre as alternativas dadas, qual é a equação da circunferência
que satisfaz essas condições.
Informações relevantes que vamos usar (listadas claramente):
- Centro desconhecido de
: . - Raio desconhecido de
: . - Equações de condição:
-
passa por : . -
passa por : . - Tangência externa com
: distância entre centros , isto é .
-
Passo 2
Observação útil (geometria que simplifica o trabalho): como
passa por
e por
, o centro
de
está equidistante de
e
. Geometricamente, o conjunto de pontos equidistantes de
e
é a mediatriz (bissetriz perpendicular) do segmento
. Então podemos achar a equação da mediatriz e exigir que
esteja nessa reta.
Cálculo da mediatriz de
:
- Vetor
. - Ponto médio
de : . - A inclinação de
é . A reta perpendicular terá inclinação oposta recíproca, isto é . - Equação da mediatriz passando por
: , ou seja .
Portanto o centro
de
satisfaz
Passo 3
Escrever a condição do raio
usando a distância até
. Usando
:
Desenvolvendo:
Passo 4
Escrever a condição de tangência externa. Distância entre centros
e
é
. Tangência externa implica
Elevando ao quadrado (para eliminar a raiz):
Substituindo
no lado esquerdo:
Agora substituímos
pela expressão obtida no Passo 3 (
) na igualdade:
Simplificando (corta-se
e
dos dois lados):
Isolando
:
Observação: aqui obtivemos
em função de
. Precisamos agora combinar isso com a expressão para
.
Passo 5
Substituir
na expressão para
do Passo 3:
Desenvolvendo o quadrado:
Passando tudo para um lado:
Passo 6
Resolver a equação quadrática
.
Calcular o discriminante:
Calcular o discriminante:
Como
, as raízes são:
Portanto
Passo 7
Encontrar
e
para cada raiz
, lembrando
e
.
-
Para
: Então candidato: centro, raio . -
Para
: Aquificou negativo, o que não é fisicamente admissível para um raio. Esse extrato aparece porque, ao elevar ao quadrado nas etapas anteriores, permitimos soluções com sinal errado para . Logo descartamos .
Ficamos com a solução válida: centro
e raio
.
Passo 8
Escrever a equação da circunferência com centro
e raio
:
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)