A equação de uma circunferência \lambda_{1} que passa pelos pontos A(3,0) e B(-1,4) tangenciando exteriormente a circunferência \lambda_{2} \cdot x^{2}+y^{2}=1, é:
a) (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16
b) (x-4)^{2}+(y-5)^{2}=26
c) \quad(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=40
d) (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=10
e) \quad(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Dois pontos pelos quais a circunferência \lambda_{1} passa: A(3,0) e B(-1,4).
  • A circunferência \lambda_{2} dada por \;x^{2}+y^{2}=1\;. Portanto o centro de \lambda_{2} é O(0,0) e o raio de \lambda_{2} é 1.
  • A condição adicional: \lambda_{1} tangencia exteriormente \lambda_{2}.
O que o problema pede:
  • Determinar, entre as alternativas dadas, qual é a equação da circunferência \lambda_{1} que satisfaz essas condições.
Informações relevantes que vamos usar (listadas claramente):
  • Centro desconhecido de \lambda_{1}: (h,k).
  • Raio desconhecido de \lambda_{1}: r.
  • Equações de condição:
    • \lambda_{1} passa por A: (h-3)^{2}+(k-0)^{2}=r^{2}.
    • \lambda_{1} passa por B: (h+1)^{2}+(k-4)^{2}=r^{2}.
    • Tangência externa com \lambda_{2}: distância entre centros = r + 1, isto é \sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + 1.

Passo 2

Observação útil (geometria que simplifica o trabalho): como \lambda_{1} passa por A e por B, o centro (h,k) de \lambda_{1} está equidistante de A e B. Geometricamente, o conjunto de pontos equidistantes de A e B é a mediatriz (bissetriz perpendicular) do segmento AB. Então podemos achar a equação da mediatriz e exigir que (h,k) esteja nessa reta.
Cálculo da mediatriz de AB:
  • Vetor AB = B-A = (-1-3,\;4-0)=(-4,4).
  • Ponto médio M de AB: M\bigl(\tfrac{3+(-1)}{2},\tfrac{0+4}{2}\bigr) = (1,2).
  • A inclinação de AB é \dfrac{4-0}{-1-3} = \dfrac{4}{-4} = -1. A reta perpendicular terá inclinação oposta recíproca, isto é 1.
  • Equação da mediatriz passando por M(1,2): \;y-2 = 1\cdot(x-1)\;, ou seja \;y = x + 1\;.
Portanto o centro (h,k) de \lambda_{1} satisfaz
k = h + 1.

Passo 3

Escrever a condição do raio r usando a distância até A(3,0). Usando k=h+1:
r^{2} = (h-3)^{2} + (k-0)^{2} = (h-3)^{2} + (h+1)^{2}.
Desenvolvendo:
r^{2} = \bigl(h^{2}-6h+9\bigr) + \bigl(h^{2}+2h+1\bigr) = 2h^{2} -4h + 10.

Passo 4

Escrever a condição de tangência externa. Distância entre centros O(0,0) e (h,k) é \sqrt{h^{2}+k^{2}}. Tangência externa implica
\sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + 1.
Elevando ao quadrado (para eliminar a raiz):
h^{2}+k^{2} = (r+1)^{2} = r^{2} + 2r + 1.
Substituindo k=h+1 no lado esquerdo:
h^{2} + (h+1)^{2} = 2h^{2} + 2h + 1.
Agora substituímos r^{2} pela expressão obtida no Passo 3 ( r^{2} = 2h^{2}-4h+10) na igualdade:
2h^{2} + 2h + 1 = \bigl(2h^{2}-4h+10\bigr) + 2r + 1.
Simplificando (corta-se 2h^{2} e +1 dos dois lados):
2h = -4h + 10 + 2r.
Isolando r:
6h = 10 + 2r \quad\Rightarrow\quad 3h = 5 + r \quad\Rightarrow\quad r = 3h - 5.
Observação: aqui obtivemos r em função de h. Precisamos agora combinar isso com a expressão para r^{2}.

Passo 5

Substituir r = 3h-5 na expressão para r^{2} do Passo 3:
(3h-5)^{2} = 2h^{2} - 4h + 10.
Desenvolvendo o quadrado:
9h^{2} -30h +25 = 2h^{2} - 4h + 10.
Passando tudo para um lado:
9h^{2} -30h +25 -2h^{2} +4h -10 = 0
7h^{2} -26h +15 = 0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática 7h^{2}-26h+15=0.
Calcular o discriminante:
\Delta = (-26)^{2} - 4\cdot7\cdot15 = 676 - 420 = 256.
Como \sqrt{256}=16, as raízes são:
h = \dfrac{26 \pm 16}{2\cdot7} = \dfrac{26 \pm 16}{14}.
Portanto
h_{1} = \dfrac{26+16}{14} = \dfrac{42}{14} = 3, \qquad h_{2} = \dfrac{26-16}{14} = \dfrac{10}{14} = \dfrac{5}{7}.

Passo 7

Encontrar k e r para cada raiz h, lembrando k=h+1 e r=3h-5.
  • Para h=3:
    k = 3+1 = 4,\qquad r = 3\cdot3 -5 = 9-5 = 4.
    Então candidato: centro (3,4), raio 4.
  • Para h=\tfrac{5}{7}:
    k = \tfrac{5}{7} + 1 = \tfrac{12}{7},\qquad r = 3\cdot\tfrac{5}{7} -5 = \tfrac{15}{7} - \tfrac{35}{7} = -\tfrac{20}{7}.
    Aqui r ficou negativo, o que não é fisicamente admissível para um raio. Esse extrato aparece porque, ao elevar ao quadrado nas etapas anteriores, permitimos soluções com sinal errado para r. Logo descartamos h=\tfrac{5}{7}.
Ficamos com a solução válida: centro (3,4) e raio 4.

Passo 8

Escrever a equação da circunferência com centro (3,4) e raio 4:
(x-3)^{2} + (y-4)^{2} = 4^{2} = 16.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16

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