Dentre as transformações abaixo, a única que se trata de uma transformação linear é:
a) T: R^{2} \rightarrow R^{2}, \mathrm{~T}(x, y)=(x+1, y).
b) T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=\left(x-z, y-z, 2^{z}\right).
c) T: R^{3} \rightarrow R^{2}, T(x, y, \mathrm{z})=(|\mathrm{x}|, \mathrm{y}, \mathrm{z})
d) T: R^{3} \rightarrow R^{3}, T(x, y, z)=(x-y+z, 2 x-y+z, x+z)
e) T: \mathcal{M}_{(2 \times 2)} \rightarrow R, T\left(\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right)=a d-b c. \quad\left({ }^{\mathcal{M}(2 \times 2)}\right. é 0 espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2)

Passo 1

O enunciado pede: entre as transformações abaixo, determinar qual é a única que é uma transformação linear. As opções fornecidas são:
a) T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\;T(x,y)=(x+1,y).
b) T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\;T(x,y,z)=(x-z,\;y-z,\;2^{z}).
c) T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\;T(x,y,z)=(|x|,\,y,\,z).
d) T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\;T(x,y,z)=(x-y+z,\;2x-y+z,\;x+z).
e) T:\mathcal{M}_{2\times2}\to\mathbb{R},\;T\!\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Pergunta concreta: qual (apenas uma) dessas é linear?

Passo 2

O que significa “transformação linear” — vamos revisar devagar e com exemplos curtos para você poder aplicar na prova.
Definição: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \lambda, vale simultaneamente:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Essas duas propriedades são equivalentes à propriedade única
T\!\left(\sum_i \lambda_i u_i\right)=\sum_i \lambda_i T(u_i)
para combinações lineares arbitrárias.
Observações práticas (atalhos úteis em prova):
  • Um teste rápido e necessário: T(0)=0. Se T(0)\neq0, então T não é linear. Isso é rápido para excluir várias opções.
  • Porém, T(0)=0 é necessário mas NÃO é suficiente: algumas aplicações têm T(0)=0 e ainda assim não preservam soma ou escala.
  • Outra maneira prática: se cada componente de T é uma combinação linear (coeficientes constantes) das coordenadas de entrada, então T é linear e pode ser escrita como multiplicação por uma matriz. Se algum componente envolve termos não-lineares (produto entre coordenadas, valor absoluto, exponencial, constante adicionada, determinante, etc.), quase sempre não é linear.
Vamos testar cada alternativa usando esses critérios.

Passo 3

Teste da alternativa (a): T(x,y)=(x+1,y).
Calcule T(0,0):
T(0,0)=(0+1,\,0)=(1,0).
Como T(0,0)\neq(0,0), concluímos imediatamente que T NÃO preserva o vetor zero e, portanto, NÃO é linear.
Explicação curta e intuitiva: adicionar uma constante +1 ao componente x quebra homogeneidade — se você multiplicar o vetor por um escalar, a constante não escala junto, então a propriedade T(\lambda u)=\lambda T(u) falha.

Passo 4

Teste da alternativa (b): T(x,y,z)=(x-z,\;y-z,\;2^{z}).
Calcule T(0,0,0):
T(0,0,0)=(0-0,\;0-0,\;2^{0})=(0,0,1).
Novamente T(0,0,0)\neq(0,0,0), logo T NÃO é linear.
Além disso, o terceiro componente 2^{z} é uma função exponencial de z, que não satisfaz 2^{\lambda z}=\lambda 2^{z} nem preserva soma de argumentos de forma linear; portanto mesmo sem o teste do zero já dá pra ver que é não linear.

Passo 5

Teste da alternativa (c): T(x,y,z)=(|x|,\,y,\,z).
Verificação de homogeneidade falha com exemplo simples. Tome o vetor u=(1,0,0) e o escalar \lambda=-1. Temos
T(u)=T(1,0,0)=(|1|,0,0)=(1,0,0),
enquanto
T(\lambda u)=T(-1,0,0)=(|-1|,0,0)=(1,0,0).
Se T fosse linear, deveríamos ter T(\lambda u)=\lambda T(u)= -1\cdot(1,0,0)=(-1,0,0), o que não acontece. Logo T NÃO é linear.
Intuição: o valor absoluto não é linear porque muda o sinal de coordenadas de forma não proporcional ao escalar.

Passo 6

Teste da alternativa (d): T(x,y,z)=(x-y+z,\;2x-y+z,\;x+z).
Aqui cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes constantes (sem constantes livres, sem produtos, sem funções não-lineares). Podemos escrever T como multiplicação por uma matriz A. Construindo A linha a linha:
primeira linha: coeficientes de (x,y,z) em x-y+z são (1,-1,1).
segunda linha: coeficientes em 2x-y+z são (2,-1,1).
terceira linha: coeficientes em x+0\cdot y+z são (1,0,1).
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e para vetor coluna v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} vale
T(v)=A\,v.
Qualquer aplicação dada por v\mapsto A v com A matriz fixa é linear porque a multiplicação matricial preserva soma e multiplicação por escalares:
A(u+v)=Au+Av,\qquad A(\lambda u)=\lambda(Au).
Logo a alternativa (d) é LINEAR.]

Passo 7

Teste da alternativa (e): T:\mathcal{M}_{2\times2}\to\mathbb{R},\;T\!\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Essa aplicação é o determinante de uma matriz 2\times2. O determinante NÃO é uma transformação linear em relação à soma de matrizes. Um contraexemplo simples:
Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calcula-se
T(A)=\det(A)=1\cdot0-0\cdot0=0,
T(B)=\det(B)=0\cdot1-0\cdot0=0,
mas
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=I,\qquad T(A+B)=\det(I)=1.
Como T(A)+T(B)=0+0=0\neq1=T(A+B), a propriedade aditiva falha e, portanto, T NÃO é linear.
Outro contraexemplo igualmente simples: T(I)=1, mas T(2I)=\det(2I)=4\neq 2\det(I)=2, mostrando falha na homogeneidade.]

Passo 8

Conclusão: das opções testadas apenas a (d) satisfaz as condições de linearidade (pode ser escrita como multiplicação por matriz). As outras opções falham por razões óbvias: soma de constante na (a), componente exponencial na (b), valor absoluto na (c) e determinante não aditivo na (e).
Força aí — a letra certa é a (d). Confia que você já sabe reconhecer rápido na prova: procure por termos não-lineares (constantes adicionadas, produtos, absoluto, exponencial, determinante etc.) e descarte rápido; se for combinação linear pura, é matriz.

Resposta

d)

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