Dada a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que
T(1,0,0)=(2,1), \quad T(0,1,0)=(-1,0), \quad T(0,0,1)=(1,-2)
Calcular:
b) T(x, y, z).
a) T(3,-4,5)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e fornece os valores de T nos vetores canônicos:
T(1,0,0)=(2,1),\qquad T(0,1,0)=(-1,0),\qquad T(0,0,1)=(1,-2).
As perguntas são:
b) Determinar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.\n
a) Calcular T(3,-4,5).

Passo 2

Lembrete essencial (só o que precisamos aqui): a propriedade que define linearidade é
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)
para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v. Em particular, qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores canônicos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).
Isso significa que, pela linearidade, podemos obter T(x,y,z) a partir de T dos vetores canônicos dados.

Passo 3

Usando a linearidade e a decomposição anterior, escrevemos
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Agora substituímos os valores fornecidos no enunciado:
T(x,y,z)=x(2,1)+y(-1,0)+z(1,-2).

Passo 4

Vamos combinar componente a componente (calma, é só somar e multiplicar escalares):
  • Primeira componente:
\text{1ª comp.} = x\cdot 2 + y\cdot(-1) + z\cdot 1 = 2x - y + z.ª
  • Segunda componente:
\text{2ª comp.} = x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot(-2) = x - 2z.ª
Logo, reunindo as duas componentes,
T(x,y,z)=(2x - y + z,\; x - 2z).

Passo 5

(Observação útil para prova) Podemos também ver T como multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times 3} cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -2\end{pmatrix}.
Então
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt] x-2z\end{pmatrix},
o que confirma o que obtivemos antes.]

Passo 6

Agora avaliar em (x,y,z)=(3,-4,5). Substituímos na fórmula encontrada:
  • Primeira componente:
2x-y+z = 2\cdot 3 - (-4) + 5 = 6 + 4 + 5 = 15.
  • Segunda componente:
x-2z = 3 - 2\cdot 5 = 3 - 10 = -7.
Portanto,
T(3,-4,5)=(15,-7).

Resposta

b) T(x,y,z)=(2x - y + z,\; x - 2z)\n
a) T(3,-4,5)=(15,-7)

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