As perguntas são:
b) Determinar T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.\n
a) Calcular T(3,-4,5).
Passo 2
Lembrete essencial (só o que precisamos aqui): a propriedade que define linearidade é
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)
para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v. Em particular, qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores canônicos:
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).
Isso significa que, pela linearidade, podemos obter T(x,y,z) a partir de T dos vetores canônicos dados.
Passo 3
Usando a linearidade e a decomposição anterior, escrevemos
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Agora substituímos os valores fornecidos no enunciado:
T(x,y,z)=x(2,1)+y(-1,0)+z(1,-2).
Passo 4
Vamos combinar componente a componente (calma, é só somar e multiplicar escalares):
Primeira componente:
\text{1ª comp.} = x\cdot 2 + y\cdot(-1) + z\cdot 1 = 2x - y + z.
(Observação útil para prova) Podemos também ver T como multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times 3} cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos: