Determinar a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), tal que T(1)=x, \quad T(x)=x+x^{2}, \quad T\left(x^{2}\right)=5+x^{2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) que satisfaz as três condições:
As imagens de três polinômios específicos (que formam a base usual de P_{2}(\mathbb{R})) estão dadas.
A tarefa é encontrar uma fórmula que descreva T aplicada a um polinômio genérico de grau \le 2.
Passo 2
Vamos usar a propriedade essencial de uma transformação linear: se T é linear então, para quaisquer escalares a,b,c e polinômios p,q,
T(ap+bq)=a\,T(p)+b\,T(q).
No nosso contexto, qualquer polinômio de grau \le 2 pode ser escrito de forma única como
p(x)=a+bx+cx^{2},
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente do termo constante, b é o coeficiente de x e c é o coeficiente de x^{2}. Como 1,x,x^{2} formam uma base de P_{2}(\mathbb{R}), a linearidade implica
o que corresponde exatamente a 5c+(a+b)x+(b+c)x^{2}.]
Passo 5
Concluímos que a transformação linear T é dada explicitamente pelo procedimento de aplicar a fórmula acima a um polinômio genérico a+bx+cx^{2}. Verificamos também que, aplicada a 1,x,x^{2}, a fórmula reproduce as imagens do enunciado, portanto está correta e é única.