Determinar a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), tal que T(1)=x, \quad T(x)=x+x^{2}, \quad T\left(x^{2}\right)=5+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) que satisfaz as três condições:
T(1)=x,\qquad T(x)=x+x^{2},\qquad T\left(x^{2}\right)=5+x^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As imagens de três polinômios específicos (que formam a base usual de P_{2}(\mathbb{R})) estão dadas.
  • A tarefa é encontrar uma fórmula que descreva T aplicada a um polinômio genérico de grau \le 2.

Passo 2

Vamos usar a propriedade essencial de uma transformação linear: se T é linear então, para quaisquer escalares a,b,c e polinômios p,q,
T(ap+bq)=a\,T(p)+b\,T(q).
No nosso contexto, qualquer polinômio de grau \le 2 pode ser escrito de forma única como
p(x)=a+bx+cx^{2},
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente do termo constante, b é o coeficiente de x e c é o coeficiente de x^{2}. Como 1,x,x^{2} formam uma base de P_{2}(\mathbb{R}), a linearidade implica
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=a\,T(1)+b\,T(x)+c\,T(x^{2}).
Esta é a ideia-chave: conhecer T em 1,x,x^{2} determina T em todo P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 3

Substituímos as imagens dadas em a\,T(1)+b\,T(x)+c\,T(x^{2}). Usando T(1)=x, T(x)=x+x^{2} e T(x^{2})=5+x^{2}, obtemos
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=a\cdot x + b\cdot (x+x^{2}) + c\cdot (5+x^{2}).
Agora vamos expandir e juntar termos semelhantes cuidadosamente:
  • Termo constante: vem só de c\cdot 5, então constante =5c.
  • Coeficiente de x: vem de a\cdot x e de b\cdot x, então coeficiente de x é a+b.
  • Coeficiente de x^{2}: vem de b\cdot x^{2} e de c\cdot x^{2}, então coeficiente de x^{2} é b+c.
Portanto, organizando em forma de polinômio,
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=5c + (a+b)\,x + (b+c)\,x^{2}.

Passo 4

Para fixar bem a ideia, vejamos um exemplo numérico rápido (isso ajuda na hora da prova): se p(x)=2+3x+4x^{2}, então a=2,b=3,c=4 e
T(p)=5\cdot 4 + (2+3)\,x + (3+4)\,x^{2} = 20 + 5x + 7x^{2}.
Também posso apresentar a forma matricial relativa à base ordenada (1,x,x^{2}). As colunas da matriz de T são as coordenadas de T(1),T(x),T(x^{2}):
T(1)=x \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad T(x)=x+x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad T(x^{2})=5+x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}5\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A matriz de T na base (1,x,x^{2}) é
M=\begin{pmatrix}0 & 0 & 5\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix},
e para o vetor de coordenadas \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} temos
M\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5c\\[4pt]a+b\\[4pt]b+c\end{pmatrix},
o que corresponde exatamente a 5c+(a+b)x+(b+c)x^{2}.]

Passo 5

Concluímos que a transformação linear T é dada explicitamente pelo procedimento de aplicar a fórmula acima a um polinômio genérico a+bx+cx^{2}. Verificamos também que, aplicada a 1,x,x^{2}, a fórmula reproduce as imagens do enunciado, portanto está correta e é única.

Resposta

T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=5c + (a+b)\,x + (b+c)\,x^{2}

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