Verifique quais das seguintes transformações são lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(\operatorname{sen} y, x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(\sin y,\, x).
A pergunta é: verifique se essa transformação é linear (isto é, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade).

Passo 2

O que significa “linear”? Vou escrever de forma direta e curta: T é linear se, para quaisquer vetores \,u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{(aditividade)}
e
T(cu)=c\,T(u)\quad\text{(homogeneidade).}
Equivalente: para quaisquer escalares a,b e vetores u,v,
T(au+bv)=aT(u)+bT(v).
Vou verificar essas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Começo testando aditividade de maneira simbólica. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big(\sin(y_1+y_2),\;x_1+x_2\big).
Agora calcule T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=\big(\sin y_1,\,x_1\big)+\big(\sin y_2,\,x_2\big)=\big(\sin y_1+\sin y_2,\;x_1+x_2\big).
Comparando, as segundas componentes coincidem ( x_1+x_2), mas as primeiras componentes exigiriam
\sin(y_1+y_2)=\sin y_1+\sin y_2
para todo y_1,y_2. Isso é uma igualdade muito forte — vou mostrar que não é verdadeira em geral.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica conhecida,
\sin(y_1+y_2)=\sin y_1\cos y_2+\cos y_1\sin y_2,
é claro que isso não é igual, em geral, a \sin y_1+\sin y_2 (porque haveria fatores \cos y_2 e \cos y_1 multiplicando os senos). Para ver concretamente que a aditividade falha, basta um contraexemplo numérico.

Passo 5

Escolho um exemplo simples: u=(0,\pi/2) e v=(0,\pi/2). Então
u+v=(0,\pi).
Calculo T(u+v):
T(u+v)=T(0,\pi)=\big(\sin\pi,\;0\big)=\big(0,\;0\big),
porque \sin\pi=0. Agora calcule T(u)+T(v):
T(u)=T(0,\pi/2)=\big(\sin(\pi/2),\;0\big)=\big(1,0\big),
logo
T(u)+T(v)=(1,0)+(1,0)=(2,0).
Como T(u+v)=(0,0)\neq(2,0)=T(u)+T(v), a aditividade falha. Portanto T não é linear.

Passo 6

Para reforçar (opcional): a homogeneidade também falha com o mesmo tipo de exemplo. Tome c=2 e u=(0,\pi/2). Então
T(2u)=T(0,\pi)=\big(\sin\pi,0\big)=(0,0),
mas
2\,T(u)=2\,(1,0)=(2,0),
logo T(2u)\neq 2T(u). Isso confirma que a propriedade de homogeneidade não é satisfeita.

Passo 7

Conclusão didática curta: a dependência não linear na primeira componente (aparecimento de \sin y) rompe as propriedades lineares; embora a segunda componente seja linear em x, isso não é suficiente. Uma transformação linear precisa preservar soma e multiplicação por escalar em todas as componentes simultaneamente.

Resposta

A transformação T não é linear.

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