Verifique quais das seguintes transformações são lineares.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
A pergunta é: verifique se essa transformação é linear (isto é, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade).
Passo 2
O que significa “linear”? Vou escrever de forma direta e curta:
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
,
e
Equivalente: para quaisquer escalares
e vetores
,
Vou verificar essas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Começo testando aditividade de maneira simbólica. Tome
e
. Então
Aplicando
ao somatório:
Agora calcule
:
Comparando, as segundas componentes coincidem (
), mas as primeiras componentes exigiriam
para todo
. Isso é uma igualdade muito forte — vou mostrar que não é verdadeira em geral.
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica conhecida,
é claro que isso não é igual, em geral, a
(porque haveria fatores
e
multiplicando os senos). Para ver concretamente que a aditividade falha, basta um contraexemplo numérico.
Passo 5
Escolho um exemplo simples:
e
. Então
Calculo
:
porque
. Agora calcule
:
logo
Como
, a aditividade falha. Portanto
não é linear.
Passo 6
Para reforçar (opcional): a homogeneidade também falha com o mesmo tipo de exemplo. Tome
e
. Então
mas
logo
. Isso confirma que a propriedade de homogeneidade não é satisfeita.
Passo 7
Conclusão didática curta: a dependência não linear na primeira componente (aparecimento de
) rompe as propriedades lineares; embora a segunda componente seja linear em
, isso não é suficiente. Uma transformação linear precisa preservar soma e multiplicação por escalar em todas as componentes simultaneamente.
Resposta
A transformação
não é linear.