Dada uma transformação linear
, defina quem é o núcleo da transformação
, quem é a imagem dessa transformação e quais as condições para a transformação ser injetora, sobrejetora e bijetora.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte: dada uma transformação linear
,
- Definir o núcleo (núcleo = conjunto de vetores de
que vão para zero). - Definir a imagem (imagem = conjunto de vetores de
que são valores de ). - Indicar as condições necessárias e suficientes para
ser injetora, sobrejetora e bijetora.
Informações dadas: temos apenas que
é linear e que os espaços vetoriais envolvidos são
(domínio) e
(contradomínio). Não há outras hipóteses numéricas (como dimensões), portanto as definições e condições devem ser dadas de forma geral, com menções aos casos particulares quando for útil (por exemplo, quando os espaços têm dimensão finita).
Passo 2
Definição formal do núcleo.
Definição: o núcleo de
é o conjunto
onde
é o vetor zero do espaço
.
Explicação didática: o núcleo é simplesmente o conjunto de todos os vetores de
que a transformação manda para o vetor zero em
. Outra forma curta de dizer isso é: núcleo = pré-imagem do zero.
Propriedade importante (que você deve saber provar e usar):
é um subespaço vetorial de
. Vou mostrar o porquê passo a passo.
Prova de que
é subespaço:
- Primeiro,
porque para qualquer transformação linear. Isso garante que o conjunto não é vazio. - Fechamento por soma: se
então e . Pela linearidade,
logo
.
3. Fechamento por multiplicação escalar: se e
é um escalar, então
3. Fechamento por multiplicação escalar: se
logo
.
Concluímos que
é subespaço de
.
Passo 3
Exemplo concreto para fixar a ideia do núcleo.
Considere
definida por
. Queremos
.
Procuramos todos os
tais que
. Isso dá o sistema
que é simplesmente
. Assim
Intuição: todo vetor que tem componentes somando zero vai para o zero pelo mapa que soma as componentes.
Passo 4
Definição formal da imagem.
Definição: a imagem de
é o conjunto
Explicação didática: a imagem é o conjunto de todos os vetores em
que são realmente atingidos por
. Se você pensar em
como uma função, a imagem é o “alcance” da função dentro de
.
Propriedade importante:
é um subespaço de
. A prova segue o mesmo tipo de argumentos do núcleo:
Prova de que
é subespaço:
- Como
, já temos . - Se
, existem tais que e . Então
- Se
e é escalar, existe com . Então
Portanto
é subespaço de
.
Passo 5
Exemplo concreto da imagem usando o mesmo
do exemplo anterior.
Para
, todo vetor imagem tem a forma
com
. Logo
Observação: neste exemplo
e
são subespaços de dimensões
cada; isso conecta com a relação de dimensões que veremos em seguida.
Passo 6
Condição para
ser injetora (injeção).
Definição de injetora (em palavras):
é injetora se vetores distintos em
levam a imagens distintas em
; formalmente, se
então
.
Caracterização via núcleo:
é injetora se, e somente se,
Prova das duas implicações (passo a passo):
-
Se
é injetora então . Prova: se então . Pela injetividade, . Logo todo elemento do núcleo é . -
Se
então é injetora. Prova: suponha . Pela linearidade,
logo
. Como o núcleo é
, temos
, ou seja
. Portanto
é injetora.
Intuição para a prova: duas entradas diferentes que vão para a mesma saída significam que a diferença delas vai para zero. Se a única coisa que vai para zero é o próprio zero, não pode haver duas entradas diferentes com a mesma saída.
Passo 7
Condição para
ser sobrejetora (sobrejeção).
Definição de sobrejetora (em palavras):
é sobrejetora se toda imagem possível em
é atingida; formalmente,
.
Explicação: ser sobrejetora significa que para cada
existe
tal que
.
Dica prática: quando
é dada por uma matriz (escolhidas bases), verificar sobrejetividade equivale a verificar se as colunas da matriz geram todo
(colunas geradoras). Em prática, faz-se eliminação de Gauss e verifica-se se a dimensão da imagem (posto) é igual à dimensão de
.
Passo 8
Relação entre dimensões (caso de espaços de dimensão finita) — ferramenta poderosa para prova e para provas de exercício.
Teorema (teorema do posto e da nulidade / rank-nullity): se
é de dimensão finita, então
Consequências úteis:
- Se
, então , então . Portanto não pode ser sobrejetora. - Se
, então , então . Logo não pode ser injetora. - Se
, então é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Motivo: pela fórmula, implica , logo ; e vice-versa.
Essas são ferramentas que você pode usar na prova quando souber as dimensões.
Passo 9
Condição para
ser bijetora (bijeção).
Definição:
é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Caracterizações equivalentes:
-
é bijetora se, e somente se, e . - Se
e têm a mesma dimensão finita, é bijetora exatamente quando (ou equivalentemente quando ). - Uma transformação linear bijetora tem inversa
que também é linear. Isso é importante: bijetividade implica invertibilidade linear.
Passo 10
Exemplos rápidos para lembrar na prova e dicas práticas.
Exemplos:
- Mapa identidade
com . Aqui , . Logo é bijetora. - Mapa zero
com para todo . Aqui (todo vetor vai para zero) e . Geralmente não é injetor nem sobrejetor (exceto casos degenerados como ou ). - Projeção de
sobre o eixo : . Aqui (não injetora), (não sobrejetora para ). - Matriz
identidade representa uma aplicação bijetora; matriz com linhas iguais representa aplicação com núcleo não trivial.
Dicas práticas para o exame:
- Para checar injetividade: resolva
. Se a única solução for , é injetora. - Para checar sobrejetividade: verifique se as colunas (no caso matricial) geram todo
ou se o posto é igual a . - Use eliminação de Gauss para encontrar
e quando é dada por matriz. - Lembre do teorema posto-nulidade para conclusões rápidas com dimensões.
Força aí — você consegue! Resolver esses passos na prova é questão de prática com sistemas lineares e eliminação.