Dada uma transformação linear T: V \rightarrow W, defina quem é o núcleo da transformação T, quem é a imagem dessa transformação e quais as condições para a transformação ser injetora, sobrejetora e bijetora.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte: dada uma transformação linear T: V \to W,
  • Definir o núcleo (núcleo = conjunto de vetores de V que vão para zero).
  • Definir a imagem (imagem = conjunto de vetores de W que são valores de T).
  • Indicar as condições necessárias e suficientes para T ser injetora, sobrejetora e bijetora.
Informações dadas: temos apenas que T é linear e que os espaços vetoriais envolvidos são V (domínio) e W (contradomínio). Não há outras hipóteses numéricas (como dimensões), portanto as definições e condições devem ser dadas de forma geral, com menções aos casos particulares quando for útil (por exemplo, quando os espaços têm dimensão finita).

Passo 2

Definição formal do núcleo.
Definição: o núcleo de T é o conjunto
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0_W\},
onde 0_W é o vetor zero do espaço W.
Explicação didática: o núcleo é simplesmente o conjunto de todos os vetores de V que a transformação manda para o vetor zero em W. Outra forma curta de dizer isso é: núcleo = pré-imagem do zero.
Propriedade importante (que você deve saber provar e usar): \ker(T) é um subespaço vetorial de V. Vou mostrar o porquê passo a passo.
Prova de que \ker(T) é subespaço:
  1. Primeiro, 0_V\in\ker(T) porque T(0_V)=0_W para qualquer transformação linear. Isso garante que o conjunto não é vazio.
  2. Fechamento por soma: se u,v\in\ker(T) então T(u)=0_W e T(v)=0_W. Pela linearidade,
T(u+v)=T(u)+T(v)=0_W+0_W=0_W,
logo u+v\in\ker(T).
3. Fechamento por multiplicação escalar: se v\in\ker(T) e \lambda é um escalar, então
T(\lambda v)=\lambda T(v)=\lambda 0_W=0_W,
logo \lambda v\in\ker(T).
Concluímos que \ker(T) é subespaço de V.

Passo 3

Exemplo concreto para fixar a ideia do núcleo.
Considere T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y)=(x+y,x+y). Queremos \ker(T).
Procuramos todos os (x,y) tais que T(x,y)=(0,0). Isso dá o sistema
x+y=0,\qquad x+y=0,
que é simplesmente x+y=0. Assim
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.
Intuição: todo vetor que tem componentes somando zero vai para o zero pelo mapa que soma as componentes.

Passo 4

Definição formal da imagem.
Definição: a imagem de T é o conjunto
\mathrm{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\; T(v)=w\}.
Explicação didática: a imagem é o conjunto de todos os vetores em W que são realmente atingidos por T. Se você pensar em T como uma função, a imagem é o “alcance” da função dentro de W.
Propriedade importante: \mathrm{Im}(T) é um subespaço de W. A prova segue o mesmo tipo de argumentos do núcleo:
Prova de que \mathrm{Im}(T) é subespaço:
  1. Como T(0_V)=0_W, já temos 0_W\in\mathrm{Im}(T).
  2. Se w_1,w_2\in\mathrm{Im}(T), existem v_1,v_2\in V tais que T(v_1)=w_1 e T(v_2)=w_2. Então
w_1+w_2=T(v_1)+T(v_2)=T(v_1+v_2)\in\mathrm{Im}(T).
  1. Se w\in\mathrm{Im}(T) e \lambda é escalar, existe v\in V com T(v)=w. Então
\lambda w=\lambda T(v)=T(\lambda v)\in\mathrm{Im}(T).
Portanto \mathrm{Im}(T) é subespaço de W.

Passo 5

Exemplo concreto da imagem usando o mesmo T do exemplo anterior.
Para T(x,y)=(x+y,x+y), todo vetor imagem tem a forma (s,s) com s=x+y. Logo
\mathrm{Im}(T)=\{(s,s)\mid s\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1)\}.
Observação: neste exemplo \ker(T) e \mathrm{Im}(T) são subespaços de dimensões 1 cada; isso conecta com a relação de dimensões que veremos em seguida.

Passo 6

Condição para T ser injetora (injeção).
Definição de injetora (em palavras): T é injetora se vetores distintos em V levam a imagens distintas em W; formalmente, se T(v_1)=T(v_2) então v_1=v_2.
Caracterização via núcleo: T é injetora se, e somente se,
\ker(T)=\{0_V\}.
Prova das duas implicações (passo a passo):
  1. Se T é injetora então \ker(T)=\{0_V\}. Prova: se v\in\ker(T) então T(v)=0_W=T(0_V). Pela injetividade, v=0_V. Logo todo elemento do núcleo é 0_V.
  2. Se \ker(T)=\{0_V\} então T é injetora. Prova: suponha T(v_1)=T(v_2). Pela linearidade,
T(v_1-v_2)=T(v_1)-T(v_2)=0_W,
logo v_1-v_2\in\ker(T). Como o núcleo é \{0_V\}, temos v_1-v_2=0_V, ou seja v_1=v_2. Portanto T é injetora.
Intuição para a prova: duas entradas diferentes que vão para a mesma saída significam que a diferença delas vai para zero. Se a única coisa que vai para zero é o próprio zero, não pode haver duas entradas diferentes com a mesma saída.

Passo 7

Condição para T ser sobrejetora (sobrejeção).
Definição de sobrejetora (em palavras): T é sobrejetora se toda imagem possível em W é atingida; formalmente, \mathrm{Im}(T)=W.
Explicação: ser sobrejetora significa que para cada w\in W existe v\in V tal que T(v)=w.
Dica prática: quando T é dada por uma matriz (escolhidas bases), verificar sobrejetividade equivale a verificar se as colunas da matriz geram todo W (colunas geradoras). Em prática, faz-se eliminação de Gauss e verifica-se se a dimensão da imagem (posto) é igual à dimensão de W.

Passo 8

Relação entre dimensões (caso de espaços de dimensão finita) — ferramenta poderosa para prova e para provas de exercício.
Teorema (teorema do posto e da nulidade / rank-nullity): se V é de dimensão finita, então
\dim V = \dim\ker(T) + \dim\mathrm{Im}(T).
Consequências úteis:
  • Se \dim V < \dim W, então \dim\mathrm{Im}(T)\le \dim V < \dim W, então \mathrm{Im}(T)\neq W. Portanto T não pode ser sobrejetora.
  • Se \dim V > \dim W, então \dim\ker(T)=\dim V - \dim\mathrm{Im}(T) \ge \dim V - \dim W > 0, então \ker(T)\neq\{0\}. Logo T não pode ser injetora.
  • Se \dim V = \dim W <\infty, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Motivo: pela fórmula, \dim\ker(T)=0 implica \dim\mathrm{Im}(T)=\dim V=\dim W, logo \mathrm{Im}(T)=W; e vice-versa.
Essas são ferramentas que você pode usar na prova quando souber as dimensões.

Passo 9

Condição para T ser bijetora (bijeção).
Definição: T é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Caracterizações equivalentes:
  • T é bijetora se, e somente se, \ker(T)=\{0_V\} e \mathrm{Im}(T)=W.
  • Se V e W têm a mesma dimensão finita, T é bijetora exatamente quando \ker(T)=\{0_V\} (ou equivalentemente quando \mathrm{Im}(T)=W).
  • Uma transformação linear bijetora tem inversa T^{-1}:W\to V que também é linear. Isso é importante: bijetividade implica invertibilidade linear.

Passo 10

Exemplos rápidos para lembrar na prova e dicas práticas.
Exemplos:
  1. Mapa identidade I:V\to V com I(v)=v. Aqui \ker(I)=\{0\}, \mathrm{Im}(I)=V. Logo I é bijetora.
  2. Mapa zero Z:V\to W com Z(v)=0_W para todo v. Aqui \ker(Z)=V (todo vetor vai para zero) e \mathrm{Im}(Z)=\{0_W\}. Geralmente não é injetor nem sobrejetor (exceto casos degenerados como V=\{0\} ou W=\{0\}).
  3. Projeção de \mathbb{R}^2 sobre o eixo x: P(x,y)=(x,0). Aqui \ker(P)=\{(0,y) : y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1)\} (não injetora), \mathrm{Im}(P)=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0)\} (não sobrejetora para \mathbb{R}^2).
  4. Matriz 2\times2 identidade representa uma aplicação bijetora; matriz com linhas iguais representa aplicação com núcleo não trivial.
Dicas práticas para o exame:
  • Para checar injetividade: resolva T(v)=0. Se a única solução for v=0, é injetora.
  • Para checar sobrejetividade: verifique se as colunas (no caso matricial) geram todo W ou se o posto é igual a \dim W.
  • Use eliminação de Gauss para encontrar \ker(T) e \mathrm{Im}(T) quando T é dada por matriz.
  • Lembre do teorema posto-nulidade para conclusões rápidas com dimensões.
Força aí — você consegue! Resolver esses passos na prova é questão de prática com sistemas lineares e eliminação.

Resposta

\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0_W\}.\newline
\mathrm{Im}(T)=\{w\in W\mid \exists v\in V,\;T(v)=w\}.\newline
T é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0_V\}.\newline
T é sobrejetora se, e somente se, \mathrm{Im}(T)=W.\newline
T é bijetora se, e somente se, é simultaneamente injetora e sobrejetora (equivalente a \ker(T)=\{0_V\} e \mathrm{Im}(T)=W); em caso de \dim V=\dim W<\infty, injetividade ⇔ sobrejetividade ⇔ bijetividade.

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