Numa dada unidade industrial, partindo de 100 \mathrm{lb} / \mathrm{h} (libra por hora) de uma mistura composta por: etanol =50 \%; água =40 \% e metanol =10 \% desejam-se obter os componentes praticamente puros e observou-se que no primeiro processo de separação realizado obtendo um fluxo com a seguinte composição: etanol =9 \%; água =1 \% e metanol =90 \%, e outro contendo etanol e água. Este último sofreu uma nova separação obtendo um fluxo com a seguinte composição: etanol =95 \% e água =5 \% e outro contendo etanol =1 \% e água =99 \%.
a) Qual o fluxograma do processo?
b) É possível realizar este processo? Caso afirmativo determinar as composições e os fluxos envolvidos no processo no SI e no Sistema Inglês.

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação e duas etapas de separação e pede o fluxograma e os fluxos/composições em Sistema Inglês e no SI. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados (do enunciado):
  • Alimentação: 100\\ \mathrm{lb/h} com composição: etanol =50\%, água =40\%, metanol =10\%.
  • Separador 1: obtém uma corrente rica em metanol com composição etanol =9\%, água =1\%, metanol =90\%, e outra corrente que contém somente etanol e água (ou seja, sem metanol).
  • Separador 2 (trata a corrente etanol+água): obtém uma corrente etanol-rica com etanol =95\% e água =5\%, e outra corrente água-rica com etanol =1\% e água =99\%.
O que o problema pede:
a) Desenhar/identificar o fluxograma do processo (descrição das correntes e separadores).
b) Dizer se o processo é possível e, se sim, determinar numericamente as composições e os fluxos envolvidos em (i) Sistema Inglês (lb/h) e (ii) Sistema SI (kg/s).
Observações importantes do enunciado que vamos usar:
  • A corrente obtida no separador 1 que não é rica em metanol contém apenas etanol e água (metanol desprezível/zero).
  • Estado estacionário (balanços de massa) — as somas de massas de cada componente se conservam.

Passo 2

Estratégia de resolução (já que preciso ensinar como fazer passo-a-passo):
  • Para problemas de separação em regime estacionário usamos balanços de massa totais e, mais importante, balanços de massa por componente (etanol, água, metanol).
  • Escolhemos variáveis para os fluxos desconhecidos: fluxo da corrente rica em metanol saindo do separador 1 e fluxo da corrente etanol-rica saindo do separador 2.
  • Sempre que houver uma corrente cuja composição elimina um componente (por exemplo, separador 1: a corrente etanol+água tem metanol = 0), é conveniente fazer o balanço desse componente para encontrar imediatamente o fluxo de separação.
  • Vou aplicar esses passos explicitamente, mostrando álgebra simples e checagens.
Definições de variáveis (no Sistema Inglês, lb/h):
  • Alimentação: F = 100\\ \mathrm{lb/h}.
  • Fluxo da corrente rica em metanol (saída do separador 1): x\\ \mathrm{(lb/h)}.
  • Fluxo da corrente etanol+água (saída do separador 1, que vai para o separador 2): F-x.
  • Fluxo da corrente etanol-rica (saída do separador 2): y\\ \mathrm{(lb/h)}.
  • Fluxo da corrente água-rica (saída do separador 2): (F-x)-y.
Vou primeiro determinar x usando o balanço de metanol sobre o separador 1.

Passo 3

Balanço de metanol no separador 1 — ensino rápido do conceito:
  • Balanço de massa por componente: em regime estacionário, massa do componente entrando = massa do componente saindo.
  • Aqui, metanol na alimentação = metanol na corrente rica em metanol + metanol na corrente etanol+água.
  • O enunciado diz que a corrente etanol+água não contém metanol, então todo o metanol vai para a corrente rica em metanol.
Aplicando isso:
  • Metanol na alimentação: 0{,}10 \times F = 0{,}10 \times 100 = 10\\ \mathrm{lb/h}.
  • Metanol na corrente rica em metanol: 0{,}90 \times x.
  • Metanol na outra corrente: 0 (pela informação do enunciado).
Portanto
0{,}90\,x = 10.
Resolve-se para x:
x = \frac{10}{0{,}90} = \frac{100}{9} = 11{,}111111\ldots\\ \mathrm{lb/h}.
Interpretação didática: escolhemos o componente que aparece apenas numa das correntes de saída (metanol) porque isso nos dá uma equação simples para o fluxo de separação.

Passo 4

Determinar as massas de etanol e água que saem pela corrente rica em metanol e as que ficam na corrente etanol+água (continuação do passo-a-passo):
  • Etanol na corrente rica em metanol = 0{,}09 \times x.
  • Água na corrente rica em metanol = 0{,}01 \times x.
Usando x = 100/9:
  • Etanol em x: 0{,}09 \times \frac{100}{9} = 1{,}0\\ \mathrm{lb/h}.
  • Água em x: 0{,}01 \times \frac{100}{9} = \frac{1}{9} = 0{,}111111\ldots\\ \mathrm{lb/h}.
Agora as quantidades que sobram (entrarão no separador 2):
  • Etanol disponível para separador 2 = etanol alimentação - etanol em x = 0{,}50\times100 - 1 = 50 - 1 = 49\\ \mathrm{lb/h}.
  • Água disponível para separador 2 = água alimentação - água em x = 0{,}40\times100 - \tfrac{1}{9} = 40 - \tfrac{1}{9} = \tfrac{359}{9} = 39{,}888\ldots\\ \mathrm{lb/h}.
  • Fluxo total entrando no separador 2 = F-x = 100 - \frac{100}{9} = \frac{800}{9} = 88{,}888888\ldots\\ \mathrm{lb/h}.
Composição (percentual) da corrente que vai para o separador 2:
  • Etanol: \dfrac{49}{800/9} = \dfrac{49}{88{,}8889} \approx 0{,}55125 = 55{,}125\%.
  • Água: \dfrac{359/9}{800/9} = \dfrac{359}{800} = 0{,}44875 = 44{,}875\%.
Explicação: fizemos subtração das massas por componente (método direto e robusto) para obter as massas que alimentam o segundo separador e então calculamos as frações percentuais.

Passo 5

Resolver o separador 2: determinar y (fluxo da corrente etanol-rica) usando balanço de etanol (ensino prático):
  • Entrada de etanol no separador 2: 49\\ \mathrm{lb/h} (obtido no passo anterior).
  • Saídas: etanol em corrente etanol-rica = 0{,}95\,y. Etanol em corrente água-rica = 0{,}01\bigl(\tfrac{800}{9}-y\bigr).
Balanço de etanol:
0{,}95\,y + 0{,}01\Bigl(\frac{800}{9}-y\Bigr) = 49.
Resolver essa equação passo a passo (multiplicando para eliminar decimais):
  • Multiplico por 900 (MMC de 20,100,9 etc.) para evitar casas decimais:
900\cdot 0{,}95\,y + 900\cdot 0{,}01\Bigl(\frac{800}{9}-y\Bigr) = 900\cdot 49.
Cálculos:
855\,y + 9\Bigl(\frac{800}{9}-y\Bigr) = 44100,
855\,y + 800 - 9\,y = 44100,
846\,y = 44100 - 800 = 43300,
y = \frac{43300}{846} \approx 51{,}181915\\ \mathrm{lb/h}.
Fluxo da corrente água-rica (saída do separador 2):
\frac{800}{9} - y = \frac{800}{9} - \frac{43300}{846} = \frac{31900}{846} \approx 37{,}706974\\ \mathrm{lb/h}.

Passo 6

Verificações (sempre faça checagens numéricas para garantir consistência):
  • Etanol distribuído:
    • Em corrente metanol-rich: 1{,}0\\ \mathrm{lb/h}.
    • Em corrente etanol-rica: 0{,}95\cdot y \approx 0{,}95\cdot 51{,}181915 = 48{,}622819\\ \mathrm{lb/h}.
    • Em corrente água-rica: 0{,}01\cdot 37{,}706974 = 0{,}3770697\\ \mathrm{lb/h}.
    • Soma: 1{,}0 + 48{,}622819 + 0{,}3770697 \approx 50\\ \mathrm{lb/h} (igual ao etanol da alimentação). OK.
  • Água distribuída:
    • Em corrente metanol-rich: 0{,}111111\\ \mathrm{lb/h}.
    • Em corrente etanol-rica: 0{,}05\cdot y \approx 2{,}5590958\\ \mathrm{lb/h}.
    • Em corrente água-rica: 0{,}99\cdot 37{,}706974 \approx 37{,}329903\\ \mathrm{lb/h}.
    • Soma: 0{,}111111 + 2{,}5590958 + 37{,}329903 \approx 40\\ \mathrm{lb/h}. OK.
  • Metanol distribuída:
    • Em corrente metanol-rich: 0{,}90\cdot x = 10\\ \mathrm{lb/h}.
    • Em outras correntes: zero.
    • Soma = 10\\ \mathrm{lb/h}, igual à alimentação. OK.
Conclusão (parcial): todos os balanços conferem e todos os fluxos são positivos e as frações estão entre 0\% e 100\%. Portanto o processo é possível do ponto de vista de balanço de massa.

Passo 7

Conversão para SI (kg/s) — ensino rápido:
  • Fator de conversão exato usado: 1\\ \mathrm{lb} = 0{,}45359237\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
  • Logo 1\\ \mathrm{lb/h} = \dfrac{0{,}45359237}{3600}\\ \mathrm{kg/s} \approx 0{,}0001259978805\\ \mathrm{kg/s}.
  • Vou multiplicar cada fluxo em \mathrm{lb/h} por k = 0{,}45359237/3600 \approx 0{,}0001259978805 para obter \mathrm{kg/s}.
Cálculos diretos:
  • Alimentação: 100\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow 100\cdot k \approx 0{,}01259978805\\ \mathrm{kg/s}.
  • Corrente metanol-rich: x = \dfrac{100}{9}\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow x\cdot k \approx 11{,}111111\cdot k \approx 0{,}00139997645\\ \mathrm{kg/s}.
  • Corrente etanol+água (entrada do separador 2): \dfrac{800}{9}\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow \approx 88{,}888889\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow \cdot k \approx 0{,}0111998116\\ \mathrm{kg/s}.
  • Corrente etanol-rica: y \approx 51{,}181915\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow y\cdot k \approx 0{,}0064488870\\ \mathrm{kg/s}.
  • Corrente água-rica: \approx 37{,}706974\\ \mathrm{lb/h} \Rightarrow \cdot k \approx 0{,}0047509240\\ \mathrm{kg/s}.
Todos os resultados em kg/s conferem quando somados (soma das três correntes de saída = alimentação em kg/s).

Resposta

Fluxograma: Alimentação \\ (F=100\\ \mathrm{lb/h})\\ \to Separador 1 \to Corrente metanol-rica (90% metanol) + Corrente etanol+água \to Separador 2 \to Corrente etanol-rica (95% etanol) + Corrente água-rica (99% água).
Valores no Sistema Inglês (lb/h) e composições:
Alimentação: F=100\\ \mathrm{lb/h}; etanol 50\%, água 40\%, metanol 10\%.
Corrente metanol-rica (saída Separador 1): x=\dfrac{100}{9}\approx 11{,}111111\\ \mathrm{lb/h}; etanol 9\%, água 1\%, metanol 90\%.
Corrente para Separador 2 (etanol+água): \dfrac{800}{9}\approx 88{,}888889\\ \mathrm{lb/h}; etanol 55{,}125\% (massa 49\\ \mathrm{lb/h}), água 44{,}875\% (massa 359/9\\ \mathrm{lb/h}).
Corrente etanol-rica (saída Separador 2): y=\dfrac{43300}{846}\approx 51{,}181915\\ \mathrm{lb/h}; etanol 95\%, água 5\%.
Corrente água-rica (saída Separador 2): \dfrac{31900}{846}\approx 37{,}706974\\ \mathrm{lb/h}; etanol 1\%, água 99\%.
Valores no Sistema SI (kg/s), usando 1\\ \mathrm{lb/h}=0{,}45359237/3600\\ \mathrm{kg/s}\approx 0{,}0001259978805\\ \mathrm{kg/s}:
Alimentação: \approx 0{,}01259978805\\ \mathrm{kg/s}.
Corrente metanol-rica: \approx 0{,}00139997645\\ \mathrm{kg/s}.
Corrente para separador 2: \approx 0{,}0111998116\\ \mathrm{kg/s}.
Corrente etanol-rica: \approx 0{,}0064488870\\ \mathrm{kg/s}.
Corrente água-rica: \approx 0{,}0047509240\\ \mathrm{kg/s}.
Possibilidade do processo: Sim — todos os balanços de massa por componente fecham, todos os fluxos são não-negativos e as composições pedidas estão entre 0\% e 100\%.

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