Determine a área da região limitada por y=3 x^{3}-x^{2}-10 x e y=-x^{2}+2 x.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a área da região limitada pelas duas curvas
y=3x^{3}-x^{2}-10x
e
y=-x^{2}+2x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As duas funções explícitas são y=3x^{3}-x^{2}-10x e y=-x^{2}+2x.
  • A região pedida é a limitada (fechada) pelas interseções dessas duas curvas — ou seja, precisamos achar onde elas se cruzam e integrar a diferença entre a função que está acima e a que está abaixo, entre esses pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro passo concreto: achar os pontos de interseção, ou seja resolver a equação
3x^{3}-x^{2}-10x = -x^{2}+2x.
Vou colocar todos os termos num só lado:
3x^{3}-x^{2}-10x + x^{2}-2x = 0.
Simplificando os termos semelhantes:
3x^{3}-12x = 0.
Fatoro o polinômio:
3x^{3}-12x = 3x(x^{2}-4) = 3x(x-2)(x+2).
Portanto as raízes (pontos de interseção em x) são
x=-2,\quad x=0,\quad x=2.

Passo 3

Agora preciso saber, em cada intervalo determinado por esses pontos ( [-2,0] e [0,2]), qual curva está acima da outra, porque a área entre curvas é dada por “função de cima menos função de baixo” integrada.
Vou calcular a diferença f(x)-g(x) onde
f(x)=3x^{3}-x^{2}-10x
e
g(x)=-x^{2}+2x.
A diferença é
f(x)-g(x)=\bigl(3x^{3}-x^{2}-10x\bigr)-\bigl(-x^{2}+2x\bigr)=3x^{3}-12x.
Testo o sinal dessa diferença em cada intervalo:
  • Para x=-1 (no intervalo [-2,0]):
f(-1)-g(-1)=3(-1)^{3}-12(-1)=-3+12=9>0,
logo em [-2,0] temos f(x)>g(x) (a cúbica está acima da quadrática).
  • Para x=1 (no intervalo [0,2]):
f(1)-g(1)=3(1)^{3}-12(1)=3-12=-9<0,
logo em [0,2] temos g(x)>f(x) (a quadrática está acima da cúbica).
Resumo: entre x=-2 e x=0 a função y=3x^{3}-x^{2}-10x é a de cima; entre x=0 e x=2 a função y=-x^{2}+2x é a de cima.

Passo 4

Fórmula que usarei para área entre curvas (vou explicar bem): se duas curvas y=y_{\text{top}}(x) e y=y_{\text{bottom}}(x) delimitam uma região entre x=a e x=b, a área dessa região é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui, pelo que identifiquei, preciso somar as áreas nas duas sub-intervalos onde a função de cima é diferente:
\text{Área}=\int_{-2}^{0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.Á
Isso corresponde a integrar sempre a diferença positiva (módulo da diferença) em cada intervalo.

Passo 5

Substituo a diferença encontrada f(x)-g(x)=3x^{3}-12x nas integrais:
\text{Área}=\int_{-2}^{0}\bigl(3x^{3}-12x\bigr)\,dx+\int_{0}^{2}\bigl(-\bigl(3x^{3}-12x\bigr)\bigr)\,dx.Á
Observação didática: a segunda integral tem sinal negativo porque em [0,2] a expressão 3x^{3}-12x é negativa, então g(x)-f(x)=-(3x^{3}-12x) é a diferença positiva.

Passo 6

Para simplificar o cálculo podemos usar uma observação útil: a função h(x)=3x^{3}-12x é ímpar, pois
h(-x)=-3x^{3}+12x=-h(x).
Como o intervalo total [-2,2] é simétrico e o sinal de h(x) troca em 0, as duas integrais que compõem a área são iguais. Então posso calcular uma delas e multiplicar por 2. Vou usar a integral no lado positivo (onde preciso inverter o sinal de h):
\text{Área}=2\int_{0}^{2}\bigl(-\bigl(3x^{3}-12x\bigr)\bigr)\,dx =2\int_{0}^{2}\bigl(-3x^{3}+12x\bigr)\,dx.Á

Passo 7

Agora calculo a primitiva (antiderivada) de -3x^{3}+12x. Lembrando como integrar monômios:
  • \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
    Aplico termo a termo:
\int\bigl(-3x^{3}+12x\bigr)\,dx = -3\cdot\frac{x^{4}}{4} +12\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{3}{4}x^{4}+6x^{2}.

Passo 8

Avalio a primitiva de 0 a 2 e multiplico por 2:
\int_{0}^{2}\bigl(-3x^{3}+12x\bigr)\,dx = \left[-\frac{3}{4}x^{4}+6x^{2}\right]_{0}^{2}.
Calculo o valor em x=2:
-\frac{3}{4}\cdot 2^{4} + 6\cdot 2^{2} = -\frac{3}{4}\cdot 16 + 6\cdot 4 = -12 + 24 = 12.
E em x=0 o valor é 0. Então a integral de 0 a 2 vale 12. Multiplicando por 2:
\text{Área}=2\cdot 12 = 24.Á

Resposta

24

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