Determine a área da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a área da região limitada pelas duas curvas
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As duas funções explícitas são
e . - A região pedida é a limitada (fechada) pelas interseções dessas duas curvas — ou seja, precisamos achar onde elas se cruzam e integrar a diferença entre a função que está acima e a que está abaixo, entre esses pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro passo concreto: achar os pontos de interseção, ou seja resolver a equação
Vou colocar todos os termos num só lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Fatoro o polinômio:
Portanto as raízes (pontos de interseção em
) são
Passo 3
Agora preciso saber, em cada intervalo determinado por esses pontos (
e
), qual curva está acima da outra, porque a área entre curvas é dada por “função de cima menos função de baixo” integrada.
Vou calcular a diferença
onde
e
A diferença é
Testo o sinal dessa diferença em cada intervalo:
- Para
(no intervalo ):
logo em
temos
(a cúbica está acima da quadrática).
- Para
(no intervalo ):
logo em
temos
(a quadrática está acima da cúbica).
Resumo: entre
e
a função
é a de cima; entre
e
a função
é a de cima.
Passo 4
Fórmula que usarei para área entre curvas (vou explicar bem): se duas curvas
e
delimitam uma região entre
e
, a área dessa região é
Aqui, pelo que identifiquei, preciso somar as áreas nas duas sub-intervalos onde a função de cima é diferente:
Isso corresponde a integrar sempre a diferença positiva (módulo da diferença) em cada intervalo.
Passo 5
Substituo a diferença encontrada
nas integrais:
Observação didática: a segunda integral tem sinal negativo porque em
a expressão
é negativa, então
é a diferença positiva.
Passo 6
Para simplificar o cálculo podemos usar uma observação útil: a função
é ímpar, pois
Como o intervalo total
é simétrico e o sinal de
troca em
, as duas integrais que compõem a área são iguais. Então posso calcular uma delas e multiplicar por
. Vou usar a integral no lado positivo (onde preciso inverter o sinal de
):
Passo 7
Agora calculo a primitiva (antiderivada) de
. Lembrando como integrar monômios:
-
para .
Aplico termo a termo:
Passo 8
Avalio a primitiva de
a
e multiplico por
:
Calculo o valor em
:
E em
o valor é
. Então a integral de
a
vale
. Multiplicando por
: