Deseja-se saber se é possível obter
de uma solução contendo
em peso do componente
em peso do componente B e
em peso do componente C . Para isto, se dispõem de soluções que são rejeito de outras unidades e os processo deve ser feito em três etapas: 1) num misturador adiciona-se
de uma solução contendo
em peso do componente A e
em peso do componente C a outra contendo
em peso do componente B,
em peso do componente D e
em peso do componente E ; 2) o fluxo resultante é submetido a um processo de destilação numa torre de pratos obtendo-se como produto de topo uma solução contendo
em peso do componente
em peso do componente
em peso do componente C e
em peso do componente D e no produto de fundo um fluxo de 500
da solução contendo
em peso do componente D e
em peso do componente E ; 3) o produto de topo é submetido a um processo de filtração obtendo-se um fluxo com a solução desejada e outro contendo os componentes
e D , sendo que neste fluxo o componente A tem uma composição de
em peso. Pede-se:
a) O fluxograma de todo o processo (deve conter todas as etapas, a representação dos fluxos e das composições envolvidas).
b) Os fluxos e as composições de cada fluxo envolvido no Sistema Internacional de Unidades (SI) e no Sistema Inglês.
a) O fluxograma de todo o processo (deve conter todas as etapas, a representação dos fluxos e das composições envolvidas).
b) Os fluxos e as composições de cada fluxo envolvido no Sistema Internacional de Unidades (SI) e no Sistema Inglês.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se é possível obter uma vazão de produto final de
com composição em massa
A,
B e
C, a partir de correntes disponíveis e de três etapas descritas. Dados relevantes fornecidos:
-
Etapa 1 (misturador):
- Corrente 1: vazão
com composição A e C. - Corrente 2: vazão desconhecida (vou chamar de
) com composição B, D e E. - Saída do misturador: soma das duas correntes (vazão total
).
- Corrente 1: vazão
-
Etapa 2 (destilação):
- O produto de topo (saída superior) tem composição em massa
A, B, C e D. - O produto de fundo é dado como vazão de
com composição D e E. (Note que aqui o enunciado fornece a vazão do fundo em sistema inglês: .)
- O produto de topo (saída superior) tem composição em massa
-
Etapa 3 (filtração do topo):
- O topo é filtrado e gera:
- O produto desejado (vazão alvo
) com composição A, B, C. - Um fluxo de rejeito com componentes A, B, C e D, no qual o componente A tem composição de
em massa (ou seja, na corrente de rejeito ).
- O produto desejado (vazão alvo
- O topo é filtrado e gera:
O que é pedido:
a) Fluxograma completo (descrição com todas as etapas, fluxos e composições).
b) Determinar vazões e composições de todas as correntes em SI e em sistema inglês (se possível).
a) Fluxograma completo (descrição com todas as etapas, fluxos e composições).
b) Determinar vazões e composições de todas as correntes em SI e em sistema inglês (se possível).
Passo 2
Como vamos trabalhar com massas, primeiro explico a estratégia básica (a “receita” de contas) — calma, é só uma explicação do que vamos aplicar passo a passo:
- Princípio usado: conservação de massa (balanço global) e balanço por componente (cada componente A, B, C, D, E).
- Em mistura e destilação: massa de cada componente entrando = massa de cada componente saindo.
- Em filtração (splitting): top = produto + rejeito; balanço por componente também vale.
Vou agora definir as incógnitas e escrever as equações de balanço.
Definições de variáveis (tudo em
):
-
(corrente 1). -
(corrente 2, incógnita). -
(alimentação para a coluna). -
vazão do produto de fundo da coluna (em ); o enunciado deu — vou converter para a seguir. -
vazão do produto de topo da coluna (em ). -
(produto final desejado após filtração). -
vazão do rejeito da filtração (em ), então .
Composições em massa (frações) dadas:
- Corrente 1:
. - Corrente 2:
. - Topo da coluna:
. - Fundo da coluna (fornecido):
. - Rejeito da filtração:
(o enunciado diz que no fluxo de rejeito o componente A tem composição de ); os outros componentes presentes no rejeito são B, C e D (soma das frações deve ser para o rejeito). - Produto final:
.
Obs.: TODO conteúdo numérico deve ficar em TeX — feito acima.
Passo 3
Conversão da vazão do produto de fundo dada em sistema inglês para SI (pois a maior parte dos dados está em
).
- Dado:
. - Conversão:
. - Então
Vou usar
(mantendo casas suficientes para exatidão nos balanços).
Massas de D e E no fundo:
Passo 4
Balanço de massa total na coluna:
Em componentes: para cada componente
,
Primeiro calcule as massas dos componentes na alimentação (misturador):
- Da corrente 1 (
): - Da corrente 2 (
): - Soma (alimentação
):
Passo 5
Balanço do componente A pela coluna:
- O fundo não contém A (o enunciado diz que o fundo tem só D e E).
- Logo toda a A da alimentação deve sair no topo:
Mas
. Como
,
Portanto o topo da coluna deve ter vazão
.
Agora o balanço global de massa dá:
Assim
Portanto a corrente 2 deveria ser
para que o balanço de A e a vazão de fundo fornecida sejam satisfeitos simultaneamente.
Passo 6
Verificação do balanço do componente B na coluna com o valor de
encontrado:
- Massa de B na alimentação:
- Massa de B no topo (pela composição do topo):
- Massa de B no fundo seria:
Mas o enunciado diz explicitamente que o produto de fundo contém apenas D e E (40% D, 60% E). Isso significa que a fração de B no fundo deveria ser zero, ou seja,
. Temos aqui um conflito: com o
que satisfaz o balanço de A e a vazão do fundo, sobram
de B que seriam obrigatoriamente enviadas para o fundo — o que contradiz a composição dada do fundo.
Portanto há uma inconsistência entre:
- a exigência de que todo o A vá para o topo (dado que o fundo não contém A), que fixou
; - a vazão do fundo fornecida (
); - e a composição do fundo (apenas D e E).
Em palavras simples: com o fluxo de fundo fixado em
e com a corrente 1 fixa, não é possível ter simultaneamente a composição do fundo sem conter B e ao mesmo tempo zerar B no fundo, porque a corrente 2 contém B em quantidade que não cabe só no topo.
Vou explorar a consequência oposta (se exigíssemos que
) para mostrar a contradição completa.
Passo 7
Suponha que o fundo realmente não contenha B, então devemos ter
. Como
e
, isso dá
Mas já sabemos por balanço de A (e pelo fato de fundo não ter A) que
. Então
Se
, então a alimentação total seria
. Como o fundo B (em
) é
(conversão de
), teríamos
, o que é impossível (a vazão de fundo não pode ser maior que a alimentação total). Ou seja, exigir
leva a absurdo numérico.
Portanto não há valor de
que satisfaça simultaneamente:
- a composição do fundo ser apenas D e E (sem B),
- a vazão do fundo ser
, - e os dados da alimentação do misturador.
Isto mostra que os dados da questão são inconsistente entre si.
Passo 8
Verificação da etapa de filtração (mesmo que a inconsistência já tenha sido detectada): supondo que o
(do passo 5) realmente saía da coluna, vamos ver se é possível obter o produto final de
com composição
A, etc., dado que o rejeito tem
.
- Em A: massa de A no topo é
(do passo 5). - Produto final A:
. - Logo massa de A no rejeito:
. - Se o rejeito tiver
e sua fração de A é , então a vazão do rejeito seria
Mas isso contradiz que
porque
(do passo 5) e
. Para
teríamos
, não
. Assim novamente inconsistência.
Portanto, mesmo ignorando a inconsistência anterior do fundo, a filtração não fecha com os números fornecidos: a fração de A no rejeito (10%) é muito baixa para acomodar a A restante se o topo tiver apenas
de A e espera-se tirar
para o produto. Em outras palavras, para produzir
com
A a partir de um topo com
A e vazão
isso não é compatível com rejeito contendo apenas
A.
Passo 9
Resumo dos conflitos e conclusão de viabilidade:
- Do balanço de A na coluna, como o fundo não contém A, o topo deve ser
. - A conversão do fundo fornecido (
) para SI dá . - Essas duas imposições fixam
para a corrente 2. - Com esse
, a massa de B na alimentação excede a capacidade do topo (topo leva somente de B), portanto haveria B no fundo. Entretanto o enunciado diz que o fundo contém apenas D e E — contradição. - Alternativamente, exigir que nenhum B vá para o fundo leva a
, que torna a alimentação total menor que a vazão do fundo dada — também impossível. - Além disso, na etapa de filtração o topo com
de A não permite produzir do produto com A e ao mesmo tempo ter rejeito com apenas A (os números não fecham: rejeito teria que ser se fosse A, mas o topo é só ).
Conclusão: os dados do enunciado são incompatíveis — não existe solução consistente que satisfaça todas as composições e vazões ao mesmo tempo. Portanto não é possível obter a corrente desejada de
com as composições e vazões dadas, sem alterar alguma informação do problema (por exemplo: a vazão do fundo, a composição do fundo, a composição do topo, a composição do rejeito, ou as vazões das correntes de alimentação).
Vou indicar explicitamente o que está contraditório para que você possa, na prova, detectar rapidamente esse tipo de erro: os pontos críticos são (i) fundo declarado com apenas D e E mas vazão do fundo fixa; (ii) topo fixo por A; (iii) fração de A no rejeito incompatível com produção do produto.
Se a intenção do enunciado fosse diferente (por exemplo, o fundo em
em vez de
, ou o fundo permitisse B), então seria possível refazer os balanços e encontrar fluxos. Se quiser, eu posso refazer as contas assumindo uma dessas correções — por exemplo:
- opção A: interpretar
como em vez de ; ou - opção B: permitir que o fundo contenha pequenas quantidades de B;
diga qual correção prefere que eu adote e eu refaço os cálculos completos.
(Força aí — detectar inconsistências é uma habilidade muito valiosa em prova. Você não fez errado: os dados do enunciado estão conflitantes.)
Resposta
a) Impossível montar um fluxograma numericamente consistente com todas as composições e vazões fornecidas — os dados são contraditórios (explicação detalhada nos passos acima).
b) Impossível determinar todas as vazões e composições em SI e em inglês porque não existe solução que satisfaça simultaneamente: (i) a vazão do fundo (
), (ii) a composição do fundo apenas D e E, (iii) o balanço de A que fixa o topo em
, e (iv) a composição do rejeito da filtração com
.
b) Impossível determinar todas as vazões e composições em SI e em inglês porque não existe solução que satisfaça simultaneamente: (i) a vazão do fundo