Deseja-se saber se é possível obter 100 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de uma solução contendo 95 \% em peso do componente \mathrm{A}, 3 \% em peso do componente B e 2 \% em peso do componente C . Para isto, se dispõem de soluções que são rejeito de outras unidades e os processo deve ser feito em três etapas: 1) num misturador adiciona-se 150 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de uma solução contendo 90 \% em peso do componente A e 10 \% em peso do componente C a outra contendo 25 \% em peso do componente B, 25 \% em peso do componente D e 50 \% em peso do componente E ; 2) o fluxo resultante é submetido a um processo de destilação numa torre de pratos obtendo-se como produto de topo uma solução contendo 75 \% em peso do componente \mathrm{A}, 10 \% em peso do componente \mathrm{B}, 10 \% em peso do componente C e 5 \% em peso do componente D e no produto de fundo um fluxo de 500 \mathrm{lb} / \mathrm{h} da solução contendo 40 \% em peso do componente D e 60 \% em peso do componente E ; 3) o produto de topo é submetido a um processo de filtração obtendo-se um fluxo com a solução desejada e outro contendo os componentes \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D , sendo que neste fluxo o componente A tem uma composição de 10 \% em peso. Pede-se:
a) O fluxograma de todo o processo (deve conter todas as etapas, a representação dos fluxos e das composições envolvidas).
b) Os fluxos e as composições de cada fluxo envolvido no Sistema Internacional de Unidades (SI) e no Sistema Inglês.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se é possível obter uma vazão de produto final de \,100\\ \mathrm{kg/h}\, com composição em massa \,95\% A, \,3\% B e \,2\% C, a partir de correntes disponíveis e de três etapas descritas. Dados relevantes fornecidos:
  • Etapa 1 (misturador):
    • Corrente 1: vazão \,150\\ \mathrm{kg/h}\, com composição \,90\% A e \,10\% C.
    • Corrente 2: vazão desconhecida (vou chamar de \,x\\ \mathrm{kg/h}\,) com composição \,25\% B, \,25\% D e \,50\% E.
    • Saída do misturador: soma das duas correntes (vazão total \,150+x\\ \mathrm{kg/h}).
  • Etapa 2 (destilação):
    • O produto de topo (saída superior) tem composição em massa \,75\% A, \,10\% B, \,10\% C e \,5\% D.
    • O produto de fundo é dado como vazão de \,500\\ \mathrm{lb/h} com composição \,40\% D e \,60\% E. (Note que aqui o enunciado fornece a vazão do fundo em sistema inglês: \,500\\ \mathrm{lb/h}.)
  • Etapa 3 (filtração do topo):
    • O topo é filtrado e gera:
      • O produto desejado (vazão alvo \,100\\ \mathrm{kg/h}) com composição \,95\% A, \,3\% B, \,2\% C.
      • Um fluxo de rejeito com componentes A, B, C e D, no qual o componente A tem composição de \,10\% em massa (ou seja, na corrente de rejeito x_A=10\%).
O que é pedido:
a) Fluxograma completo (descrição com todas as etapas, fluxos e composições).
b) Determinar vazões e composições de todas as correntes em SI e em sistema inglês (se possível).

Passo 2

Como vamos trabalhar com massas, primeiro explico a estratégia básica (a “receita” de contas) — calma, é só uma explicação do que vamos aplicar passo a passo:
  • Princípio usado: conservação de massa (balanço global) e balanço por componente (cada componente A, B, C, D, E).
  • Em mistura e destilação: massa de cada componente entrando = massa de cada componente saindo.
  • Em filtração (splitting): top = produto + rejeito; balanço por componente também vale.
    Vou agora definir as incógnitas e escrever as equações de balanço.
Definições de variáveis (tudo em \mathrm{kg/h}):
  • \,F_1 = 150\\ \mathrm{kg/h} (corrente 1).
  • \,F_2 = x\\ \mathrm{kg/h} (corrente 2, incógnita).
  • \,F = F_1 + F_2 = 150 + x (alimentação para a coluna).
  • \,B = vazão do produto de fundo da coluna (em \mathrm{kg/h}); o enunciado deu \,500\\ \mathrm{lb/h} — vou converter para \mathrm{kg/h} a seguir.
  • \,T = vazão do produto de topo da coluna (em \mathrm{kg/h}).
  • \,P = 100\\ \mathrm{kg/h} (produto final desejado após filtração).
  • \,W = vazão do rejeito da filtração (em \mathrm{kg/h}), então \,T = P + W.
Composições em massa (frações) dadas:
  • Corrente 1: \,x_A^{(1)}=0{,}90,\; x_C^{(1)}=0{,}10.
  • Corrente 2: \,x_B^{(2)}=0{,}25,\; x_D^{(2)}=0{,}25,\; x_E^{(2)}=0{,}50.
  • Topo da coluna: \,x_A^{(T)}=0{,}75,\; x_B^{(T)}=0{,}10,\; x_C^{(T)}=0{,}10,\; x_D^{(T)}=0{,}05.
  • Fundo da coluna (fornecido): \,x_D^{(B)}=0{,}40,\; x_E^{(B)}=0{,}60.
  • Rejeito da filtração: \,x_A^{(W)}=0{,}10 (o enunciado diz que no fluxo de rejeito o componente A tem composição de 10\%); os outros componentes presentes no rejeito são B, C e D (soma das frações deve ser 0{,}90 para o rejeito).
  • Produto final: \,x_A^{(P)}=0{,}95,\; x_B^{(P)}=0{,}03,\; x_C^{(P)}=0{,}02.
Obs.: TODO conteúdo numérico deve ficar em TeX — feito acima.

Passo 3

Conversão da vazão do produto de fundo dada em sistema inglês para SI (pois a maior parte dos dados está em \mathrm{kg/h}).
  • Dado: \,B_{\text{engl}} = 500\\ \mathrm{lb/h}.
  • Conversão: \,1\\ \mathrm{lb} = 0{,}45359237\\ \mathrm{kg}.
  • Então
B = 500\\ \mathrm{lb/h}\times 0{,}45359237\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{lb}} = 226{,}796185\\ \mathrm{kg/h}.
Vou usar \,B = 226{,}796185\\ \mathrm{kg/h} (mantendo casas suficientes para exatidão nos balanços).
Massas de D e E no fundo:
\text{D no fundo} = 0{,}40\,B = 0{,}40\times 226{,}796185 = 90{,}718474\\ \mathrm{kg/h},
\text{E no fundo} = 0{,}60\,B = 0{,}60\times 226{,}796185 = 136{,}077711\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 4

Balanço de massa total na coluna:
F = T + B.
Em componentes: para cada componente i\in\{A,B,C,D,E\},
\text{massa de }i\text{ na alimentação }=\text{massa de }i\text{ no topo }+\text{massa de }i\text{ no fundo}.çã
Primeiro calcule as massas dos componentes na alimentação (misturador):
  • Da corrente 1 ( F_1=150\\ \mathrm{kg/h}): A_{1}=0{,}90\times150=135\\ \mathrm{kg/h},\qquad C_{1}=0{,}10\times150=15\\ \mathrm{kg/h}.
  • Da corrente 2 ( F_2=x\\ \mathrm{kg/h}): B_{2}=0{,}25x,\quad D_{2}=0{,}25x,\quad E_{2}=0{,}50x.
  • Soma (alimentação F): A_F = 135,\qquad B_F = 0{,}25x,\qquad C_F = 15,\qquad D_F = 0{,}25x,\qquad E_F = 0{,}50x.

Passo 5

Balanço do componente A pela coluna:
  • O fundo não contém A (o enunciado diz que o fundo tem só D e E).
  • Logo toda a A da alimentação deve sair no topo:
A_F = A_T.
Mas A_T = x_A^{(T)}\times T = 0{,}75\,T. Como A_F=135,
0{,}75\,T = 135 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{135}{0{,}75} = 180\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto o topo da coluna deve ter vazão \,T = 180\\ \mathrm{kg/h}.
Agora o balanço global de massa dá:
F = T + B \quad\Rightarrow\quad 150 + x = 180 + 226{,}796185.
Assim
x = 180 + 226{,}796185 - 150 = 256{,}796185\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto a corrente 2 deveria ser \,x\approx 256{,}796\\ \mathrm{kg/h} para que o balanço de A e a vazão de fundo fornecida sejam satisfeitos simultaneamente.

Passo 6

Verificação do balanço do componente B na coluna com o valor de x encontrado:
  • Massa de B na alimentação:
B_F = 0{,}25x = 0{,}25\times 256{,}796185 = 64{,}19904625\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de B no topo (pela composição do topo):
B_T = 0{,}10\,T = 0{,}10\times 180 = 18\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de B no fundo seria:
B_B = B_F - B_T = 64{,}19904625 - 18 = 46{,}19904625\\ \mathrm{kg/h}.
Mas o enunciado diz explicitamente que o produto de fundo contém apenas D e E (40% D, 60% E). Isso significa que a fração de B no fundo deveria ser zero, ou seja, B_B=0. Temos aqui um conflito: com o x que satisfaz o balanço de A e a vazão do fundo, sobram \,46{,}20\\ \mathrm{kg/h} de B que seriam obrigatoriamente enviadas para o fundo — o que contradiz a composição dada do fundo.
Portanto há uma inconsistência entre:
  • a exigência de que todo o A vá para o topo (dado que o fundo não contém A), que fixou T=180\\ \mathrm{kg/h};
  • a vazão do fundo fornecida ( 500\\ \mathrm{lb/h});
  • e a composição do fundo (apenas D e E).
Em palavras simples: com o fluxo de fundo fixado em \,500\\ \mathrm{lb/h} e com a corrente 1 fixa, não é possível ter simultaneamente a composição do fundo sem conter B e ao mesmo tempo zerar B no fundo, porque a corrente 2 contém B em quantidade que não cabe só no topo.
Vou explorar a consequência oposta (se exigíssemos que B_B=0) para mostrar a contradição completa.

Passo 7

Suponha que o fundo realmente não contenha B, então devemos ter B_F = B_T. Como B_T = 0{,}10\,T e B_F = 0{,}25x, isso dá
0{,}25x = 0{,}10\,T.
Mas já sabemos por balanço de A (e pelo fato de fundo não ter A) que T = 180\\ \mathrm{kg/h}. Então
0{,}25x = 0{,}10\times180 = 18 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{18}{0{,}25} = 72\\ \mathrm{kg/h}.
Se x=72\\ \mathrm{kg/h}, então a alimentação total seria F=150+72=222\\ \mathrm{kg/h}. Como o fundo B (em \mathrm{kg/h}) é 226{,}796185\\ \mathrm{kg/h} (conversão de 500\\ \mathrm{lb/h}), teríamos F = 222 < B = 226{,}796, o que é impossível (a vazão de fundo não pode ser maior que a alimentação total). Ou seja, exigir B_B=0 leva a absurdo numérico.
Portanto não há valor de x que satisfaça simultaneamente:
  • a composição do fundo ser apenas D e E (sem B),
  • a vazão do fundo ser 500\\ \mathrm{lb/h},
  • e os dados da alimentação do misturador.
Isto mostra que os dados da questão são inconsistente entre si.

Passo 8

Verificação da etapa de filtração (mesmo que a inconsistência já tenha sido detectada): supondo que o T=180\\ \mathrm{kg/h} (do passo 5) realmente saía da coluna, vamos ver se é possível obter o produto final de P=100\\ \mathrm{kg/h} com composição \,95\% A, etc., dado que o rejeito tem \,x_A^{(W)}=0{,}10.
  • Em A: massa de A no topo é A_T=135\\ \mathrm{kg/h} (do passo 5).
  • Produto final A: A_P = 0{,}95\times 100 = 95\\ \mathrm{kg/h}.
  • Logo massa de A no rejeito: A_W = A_T - A_P = 135 - 95 = 40\\ \mathrm{kg/h}.
  • Se o rejeito tiver A_W=40\\ \mathrm{kg/h} e sua fração de A é x_A^{(W)}=0{,}10, então a vazão do rejeito seria
W = \frac{A_W}{x_A^{(W)}} = \frac{40}{0{,}10} = 400\\ \mathrm{kg/h}.
Mas isso contradiz que T = P + W porque T = 180\\ \mathrm{kg/h} (do passo 5) e P=100. Para W=400 teríamos T = 100 + 400 = 500\\ \mathrm{kg/h}, não 180. Assim novamente inconsistência.
Portanto, mesmo ignorando a inconsistência anterior do fundo, a filtração não fecha com os números fornecidos: a fração de A no rejeito (10%) é muito baixa para acomodar a A restante se o topo tiver apenas 135\\ \mathrm{kg/h} de A e espera-se tirar 95\\ \mathrm{kg/h} para o produto. Em outras palavras, para produzir 100\\ \mathrm{kg/h} com 95\% A a partir de um topo com 75\% A e vazão 180\\ \mathrm{kg/h} isso não é compatível com rejeito contendo apenas 10\% A.

Passo 9

Resumo dos conflitos e conclusão de viabilidade:
  • Do balanço de A na coluna, como o fundo não contém A, o topo deve ser \,T=180\\ \mathrm{kg/h}.
  • A conversão do fundo fornecido ( 500\\ \mathrm{lb/h}) para SI dá \,B\approx226{,}796\\ \mathrm{kg/h}.
  • Essas duas imposições fixam \,x = 256{,}796\\ \mathrm{kg/h} para a corrente 2.
  • Com esse x, a massa de B na alimentação excede a capacidade do topo (topo leva somente 18\\ \mathrm{kg/h} de B), portanto haveria B no fundo. Entretanto o enunciado diz que o fundo contém apenas D e E — contradição.
  • Alternativamente, exigir que nenhum B vá para o fundo leva a x=72\\ \mathrm{kg/h}, que torna a alimentação total menor que a vazão do fundo dada — também impossível.
  • Além disso, na etapa de filtração o topo com 135\\ \mathrm{kg/h} de A não permite produzir 100\\ \mathrm{kg/h} do produto com 95\% A e ao mesmo tempo ter rejeito com apenas 10\% A (os números não fecham: rejeito teria que ser \,400\\ \mathrm{kg/h} se fosse 10\% A, mas o topo é só 180\\ \mathrm{kg/h}).
Conclusão: os dados do enunciado são incompatíveis — não existe solução consistente que satisfaça todas as composições e vazões ao mesmo tempo. Portanto não é possível obter a corrente desejada de \,100\\ \mathrm{kg/h} com as composições e vazões dadas, sem alterar alguma informação do problema (por exemplo: a vazão do fundo, a composição do fundo, a composição do topo, a composição do rejeito, ou as vazões das correntes de alimentação).
Vou indicar explicitamente o que está contraditório para que você possa, na prova, detectar rapidamente esse tipo de erro: os pontos críticos são (i) fundo declarado com apenas D e E mas vazão do fundo fixa; (ii) topo fixo por A; (iii) fração de A no rejeito incompatível com produção do produto.
Se a intenção do enunciado fosse diferente (por exemplo, o fundo em \mathrm{kg/h} em vez de \mathrm{lb/h}, ou o fundo permitisse B), então seria possível refazer os balanços e encontrar fluxos. Se quiser, eu posso refazer as contas assumindo uma dessas correções — por exemplo:
  • opção A: interpretar \,500 como \mathrm{kg/h} em vez de \mathrm{lb/h}; ou
  • opção B: permitir que o fundo contenha pequenas quantidades de B;
    diga qual correção prefere que eu adote e eu refaço os cálculos completos.
(Força aí — detectar inconsistências é uma habilidade muito valiosa em prova. Você não fez errado: os dados do enunciado estão conflitantes.)

Resposta

a) Impossível montar um fluxograma numericamente consistente com todas as composições e vazões fornecidas — os dados são contraditórios (explicação detalhada nos passos acima).
b) Impossível determinar todas as vazões e composições em SI e em inglês porque não existe solução que satisfaça simultaneamente: (i) a vazão do fundo \,500\\ \mathrm{lb/h} ( \approx226{,}796\\ \mathrm{kg/h}), (ii) a composição do fundo apenas D e E, (iii) o balanço de A que fixa o topo em \,180\\ \mathrm{kg/h}, e (iv) a composição do rejeito da filtração com x_A^{(W)}=0{,}10.

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