Dada a viga
com
. Determine
a deflexào em C.
a deflexào em C.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a deflexão em
(o deslocamento vertical no ponto central da viga).
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
- Comprimento total da viga:
. - Momento de inércia da seção:
. - Carga concentrada vertical no meio do vão:
. - Módulo de Young:
.
Informação extraída da figura (dado explicitamente pela imagem):
- A viga é apoiada em
e (apoiada simplesmente: A e B são suporte e rolete). - A carga
atua em , exatamente no meio do vão, ou seja distância de cada apoio.
O objetivo final é calcular o deslocamento vertical em
(valor e indicação do sentido, ou seja para baixo).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda):
- Por simetria (carga central em viga biapoiada) as reações nos apoios são
e a deflexão máxima ocorre no meio do vão ( ). - Vou usar a equação de flexão da viga (teoria de Euler–Bernoulli):
onde é o momento fletor ao longo da viga. Integro essa equação duas vezes para obter a deflexão e aplico as condições de contorno (deslocamento nulo nos apoios e condição de simetria no centro) para achar a constante de integração e, por fim, . - Esse é o método padrão e direto para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada central; é rápido de aplicar numa prova sem necessidade de cálculo numérico complicado.
Passo 3
Reações nos apoios (uso da simetria):
- Por simetria da carga central, as reações são iguais:
- Convertendo
para unidades do SI (newtons):
Passo 4
Expressão do momento fletor
no trecho da esquerda (
):
- Tomando
medido a partir do apoio (esquerda), para o momento é devido à reação :
Passo 5
Equação diferencial e integrações (montando a solução para
):
- A equação de flexão é
- Integrando uma vez (obtém-se a inclinação
):
- Integrando de novo (obtém-se a deflexão
):
- Aplicar condições de contorno/simetria para achar
e : - No apoio esquerdo
: . Substituindo na expressão acima:
- Por simetria, a inclinação no meio do vão é zero:
. Usando a expressão para :
Assim - No apoio esquerdo
Passo 6
Expressão final de
e avaliação em
:
- Substituindo
e em :
- Em
:
- Simplificando os termos (fazendo fator comum
):
- Portanto a deflexão no centro (sinal negativo indica deslocamento para baixo) é
- Esta é a conhecida fórmula para a deflexão máxima de uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada central:
Passo 7
Cálculo numérico com as unidades dadas:
- Converter e calcular passo a passo:
- Em unidades mais usuais:
- O sinal negativo indica deflexão para baixo; a magnitude é
.