Dada a viga A B com \mathrm{L}=1,25 \mathrm{~m}, \mathrm{I}=8,80^{*} 10^{-6} \mathrm{~m}^{4}, \mathrm{P}=50 \mathrm{kNe} \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}. Determine
a deflexào em C.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a deflexão em C (o deslocamento vertical no ponto central da viga).
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
  • Comprimento total da viga: L=1,25\\ \text{m}.
  • Momento de inércia da seção: I=8,80\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
  • Carga concentrada vertical no meio do vão: P=50\\ \text{kN}.
  • Módulo de Young: E=200\\ \text{GPa}.
Informação extraída da figura (dado explicitamente pela imagem):
  • A viga é apoiada em A e B (apoiada simplesmente: A e B são suporte e rolete).
  • A carga P atua em C, exatamente no meio do vão, ou seja distância L/2 de cada apoio.
O objetivo final é calcular o deslocamento vertical em C (valor e indicação do sentido, ou seja para baixo).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda):
  • Por simetria (carga central em viga biapoiada) as reações nos apoios são R_A=R_B=P/2 e a deflexão máxima ocorre no meio do vão ( x=L/2).
  • Vou usar a equação de flexão da viga (teoria de Euler–Bernoulli): E I \frac{d^{2}y}{d x^{2}}=M(x), onde M(x) é o momento fletor ao longo da viga. Integro essa equação duas vezes para obter a deflexão y(x) e aplico as condições de contorno (deslocamento nulo nos apoios e condição de simetria no centro) para achar a constante de integração e, por fim, y(L/2).
  • Esse é o método padrão e direto para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada central; é rápido de aplicar numa prova sem necessidade de cálculo numérico complicado.

Passo 3

Reações nos apoios (uso da simetria):
  • Por simetria da carga central, as reações são iguais:
R_A=R_B=\frac{P}{2}.
  • Convertendo P para unidades do SI (newtons): P=50\\ \text{kN}=50\times10^{3}\\ \text{N}.

Passo 4

Expressão do momento fletor M(x) no trecho da esquerda ( 0\le x\le L/2):
  • Tomando x medido a partir do apoio A (esquerda), para 0\le x\le L/2 o momento é devido à reação R_A:
M(x)=R_A\,x=\frac{P}{2}\,x.

Passo 5

Equação diferencial e integrações (montando a solução para 0\le x\le L/2):
  • A equação de flexão é
E I \frac{d^{2}y}{d x^{2}}=M(x)=\frac{P}{2}x.
  • Integrando uma vez (obtém-se a inclinação y'(x)):
E I \frac{d y}{d x}=\frac{P}{4}x^{2}+C_{1}.
  • Integrando de novo (obtém-se a deflexão y(x)):
E I\,y(x)=\frac{P}{12}x^{3}+C_{1}x+C_{2}.
  • Aplicar condições de contorno/simetria para achar C_1 e C_2:
    • No apoio esquerdo A: y(0)=0. Substituindo x=0 na expressão acima:
    E I\,y(0)=C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
    • Por simetria, a inclinação no meio do vão é zero: y'\bigl(L/2\bigr)=0. Usando a expressão para E I y':
    0=E I\,y'\bigl(L/2\bigr)=\frac{P}{4}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+C_{1}.Assim C_{1}=-\frac{P}{4}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=-\frac{P L^{2}}{16}.

Passo 6

Expressão final de y(x) e avaliação em x=L/2:
  • Substituindo C_1 e C_2 em y(x):
E I\,y(x)=\frac{P}{12}x^{3}-\frac{P L^{2}}{16}\,x.
  • Em x=\dfrac{L}{2}:
E I\,y\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{P}{12}\left(\frac{L}{2}\right)^{3}-\frac{P L^{2}}{16}\left(\frac{L}{2}\right).
  • Simplificando os termos (fazendo fator comum P L^{3}):
E I\,y\!\left(\frac{L}{2}\right)=P L^{3}\!\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\right) = P L^{3}\!\left(\frac{1}{96}-\frac{1}{32}\right) = -\frac{P L^{3}}{48}.
  • Portanto a deflexão no centro (sinal negativo indica deslocamento para baixo) é
y\!\left(\frac{L}{2}\right)=-\frac{P L^{3}}{48 E I}.
  • Esta é a conhecida fórmula para a deflexão máxima de uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada central:
\delta_{\max}=\frac{P L^{3}}{48 E I}\quad\text{(magnitude)}.

Passo 7

Cálculo numérico com as unidades dadas:
  • Converter e calcular passo a passo:
L^{3}=(1,25)^{3}=1,953125\\ \text{m}^{3}.
P L^{3}=50\times10^{3}\times1,953125=97\,656,25\\ \text{N}\cdot\text{m}^{3}.
E I = (200\times10^{9})\times(8,80\times10^{-6})=1,76\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
48 E I = 48\times1,76\times10^{6}=84,48\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
\delta_C = -\frac{P L^{3}}{48 E I}=-\frac{97\,656,25}{84,48\times10^{6}}=-1,156056\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Em unidades mais usuais:
\delta_C \approx -1,156\times10^{-3}\\ \text{m}\approx -1,16\\ \text{mm}.
  • O sinal negativo indica deflexão para baixo; a magnitude é 1,16\\ \text{mm}.

Resposta

\delta_C=-1,156\times10^{-3}\\ \text{m}\approx-1,16\\ \text{mm}

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