7 Dadas as bases B1=(1,1),(-1,1) de R^2 e B2=(1,0,1),(0,1,0),(0,1,1) de R^3 encontra a transformação linear T: R^2 R^3 tal que [T]B2^B1=(cc1 & 1 -3 & 2 0 & -1)

Passo 1

O enunciado dá as bases
B1=v1=(1,1),,v2=(-1,1) de R^2 e
B2=w1=(1,0,1),,w2=(0,1,0),,w3=(0,1,1) de R^3,
e informa que a matriz de T relativa a essas bases é
[T]B2^B1 = 1 & 1 -3 & 2 0 & -1
Queremos achar a fórmula de
TcolonR^2toR^3
em coordenadas padrão.

Passo 2

As colunas de [T]B2^B1 são as coordenadas de T(v1) e T(v2) em B2. Assim,
T(v1) = 1,w1 + (-3),w2 + 0,w3 = w1 -3w2 = (1,0,1) -3,(0,1,0) = (1,-3,1),
T(v2) = 1,w1 + 2,w2 + (-1),w3 = w1 +2w2 - w3 = (1,0,1) +2,(0,1,0) - (0,1,1) = (1,1,0)

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y)inR^2 escrevemos
(x,y) = a,v1 + b,v2 = a,(1,1) + b,(-1,1) = (a-b,;a+b)
Igualando componentes,
a - b = x, a + b = y Longrightarrow a = x+y2,;b = -x+y2

Passo 4

Como T é linear,
T(x,y) = a,T(v1) + b,T(v2) = x+y2,(1,-3,1) + -x+y2,(1,1,0)
Calculando componente a componente:
1ª: x+y2 + -x+y2 = 2y2 = y, ª
2ª: -3(x+y) + ( -x + y)2 = -4x -2y2 = -2x - y, ª
3ª: x+y2 + 0 = x+y2 ª

Resposta

T(x,y) = l(y,;-2x - y,;tfracx+y2r)

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