Encontre isomorfismos entre os espaços E e F dados abaixo:
(3) E=R^4, F=M(2 times 2, R) (matrizes 2 times 2 reais).

Passo 1

O enunciado pede para exhibir um isomorfismo entre os espaços vetoriais
E=R^4 e F=M(2times2,R).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, dimensão, bases e definição de aplicação linear bijetora (isomorfismo).

Passo 2

Mostramos primeiro que ambos têm dimensão 4 e escolhemos bases canônicas.
A base de R^4 é
e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1)
A base de M(2times2,R) é
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1

Passo 3

Definimos T:R^4toM(2times2,R) mandando a base canônica na base canônica:
T(e1)=E11,; T(e2)=E12,; T(e3)=E21,; T(e4)=E22
Em coordenadas, para (x1,x2,x3,x4)inR^4 temos
Tl(x1,x2,x3,x4r) =;x1E11+x2E12+x3E21+x4E22 = x1&x2 x3&x4
É claro que T é linear (pela forma de combinação acima).

Passo 4

Para ver que é bijetora, exibimos a inversa dada por
Verifica-se imediatamente que e , logo é um isomorfismo.

Resposta

O isomorfismo
tem inversa

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