Encontre isomorfismos entre os espaços
dados abaixo:
(3)
(matrizes
reais).
(3)
Passo 1
O enunciado pede para exhibir um isomorfismo entre os espaços vetoriais
e
.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, dimensão, bases e definição de aplicação linear bijetora (isomorfismo).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, dimensão, bases e definição de aplicação linear bijetora (isomorfismo).
Passo 2
Mostramos primeiro que ambos têm dimensão 4 e escolhemos bases canônicas.
A base de é
A base de
A base de
é
Passo 3
Definimos
mandando a base canônica na base canônica:
Em coordenadas, para
temos
É claro que
é linear (pela forma de combinação acima).
Passo 4
Para ver que
é bijetora, exibimos a inversa
dada por
Verifica-se imediatamente que
e
, logo
é um isomorfismo.
Resposta
O isomorfismo
tem inversa