Dado B =-\gamma \mathrm{k}, força de massa em um hexaedro elementar. Determine uma expressão para \sigma_{\mathrm{z}} para que \tau, matriz de tensão atuando nesse hexaedro dada abaixo, seja um possível estado de tensão.
Pergunta: determinar \sigma_{\mathrm{z}}(x,y,z) de forma que \tau seja um possível estado de tensões (isto é, satisfaça o equilíbrio estático com a força de massa B).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para que um campo de tensões \tau seja admissível em equilíbrio estático sem momento de corpo, precisa satisfazer a equação do equilíbrio em ausência de aceleração:
\nabla\cdot\tau + B = 0.
Aqui \nabla\cdot\tau é a divergência do tensor de tensões, que gera um vetor com três componentes. Em coordenadas cartesianas a divergência do tensor \tau tem componentes
onde i=1,2,3 corresponde às direções x,y,z respectivamente. Isto significa que para cada componente do equilíbrio nós somamos as derivadas parciais das linhas correspondentes da matriz de tensões.
Explicando com calma: \tau_{ij} é a componente do tensor de tensões que representa a força por unidade de área na direção i atuando numa face normal à direção j. A equação \nabla\cdot\tau + B = 0 diz que a soma das variações espaciais das tensões mais a força de corpo por unidade de volume deve ser nula (equilíbrio de forças).
Passo 3
Vamos calcular explicitamente \nabla\cdot\tau. Escrevo primeiro os elementos relevantes da matriz:
onde \varphi(x,y) é uma função arbitrária que pode depender de x e y (constante de integração em relação a z). Explico por que \varphi pode depender de x,y: ao integrar uma derivada parcial \partial\sigma_{\mathrm{z}}/\partial z em z, qualquer termo que não dependa de z (ou seja, função de x,y somente) some na diferenciação, então aparece como “constante” de integração que pode variar em x e y.
Sem condições de contorno adicionais essa é a forma mais geral de \sigma_{\mathrm{z}} que garante equilíbrio com B=-\gamma\mathbf{k}. Se o problema der condições de contorno que fixem \sigma_{\mathrm{z}} numa superfície, então \varphi(x,y) seria determinada por essas condições; na falta delas, \varphi permanece arbitrária.