Dado B =-\gamma \mathrm{k}, força de massa em um hexaedro elementar. Determine uma expressão para \sigma_{\mathrm{z}} para que \tau, matriz de tensão atuando nesse hexaedro dada abaixo, seja um possível estado de tensão.
\tau=\left[\begin{array}{ccc} \mathrm{y} & -\mathrm{z} & 0 \\\\ -\mathrm{z} & 0 & -\mathrm{y} \\\\ 0 & -\mathrm{y} & \sigma_{\mathrm{z}} \end{array}\right]_{\mathrm{xyz}}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma expressão para \sigma_{\mathrm{z}}:
B = -\gamma\,\mathbf{k}
ou seja, a força de massa (força corpo) é um vetor com componentes (0,0,-\gamma) no referencial (x,y,z).
A matriz de tensões dada é
\tau=\begin{bmatrix} y & -z & 0 \\\\ -z & 0 & -y \\\\ 0 & -y & \sigma_{\mathrm{z}} \end{bmatrix}_{xyz}.
Pergunta: determinar \sigma_{\mathrm{z}}(x,y,z) de forma que \tau seja um possível estado de tensões (isto é, satisfaça o equilíbrio estático com a força de massa B).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para que um campo de tensões \tau seja admissível em equilíbrio estático sem momento de corpo, precisa satisfazer a equação do equilíbrio em ausência de aceleração:
\nabla\cdot\tau + B = 0.
Aqui \nabla\cdot\tau é a divergência do tensor de tensões, que gera um vetor com três componentes. Em coordenadas cartesianas a divergência do tensor \tau tem componentes
(\nabla\cdot\tau)_i = \frac{\partial \tau_{i1}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{i2}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{i3}}{\partial z},
onde i=1,2,3 corresponde às direções x,y,z respectivamente. Isto significa que para cada componente do equilíbrio nós somamos as derivadas parciais das linhas correspondentes da matriz de tensões.
Explicando com calma: \tau_{ij} é a componente do tensor de tensões que representa a força por unidade de área na direção i atuando numa face normal à direção j. A equação \nabla\cdot\tau + B = 0 diz que a soma das variações espaciais das tensões mais a força de corpo por unidade de volume deve ser nula (equilíbrio de forças).

Passo 3

Vamos calcular explicitamente \nabla\cdot\tau. Escrevo primeiro os elementos relevantes da matriz:
\tau_{11}=y,\quad \tau_{12}=-z,\quad \tau_{13}=0,
\tau_{21}=-z,\quad \tau_{22}=0,\quad \tau_{23}=-y,
\tau_{31}=0,\quad \tau_{32}=-y,\quad \tau_{33}=\sigma_{\mathrm{z}}(x,y,z).
Agora cada componente de \nabla\cdot\tau:
Primeira componente (direção x):
(\nabla\cdot\tau)_x = \frac{\partial \tau_{11}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{12}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{13}}{\partial z} = \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial (-z)}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}.
Como y depende só de y e z depende só de z, temos
\frac{\partial y}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial (-z)}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial 0}{\partial z}=0,
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(\nabla\cdot\tau)_x = 0.
Segunda componente (direção y):
(\nabla\cdot\tau)_y = \frac{\partial \tau_{21}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{22}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{23}}{\partial z} = \frac{\partial (-z)}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial (-y)}{\partial z}.
Novamente \frac{\partial (-z)}{\partial x}=0, \frac{\partial 0}{\partial y}=0, \frac{\partial (-y)}{\partial z}=0, portanto
(\nabla\cdot\tau)_y = 0.
Terceira componente (direção z):
(\nabla\cdot\tau)_z = \frac{\partial \tau_{31}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{32}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{33}}{\partial z} = \frac{\partial 0}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z}.
Aqui \frac{\partial 0}{\partial x}=0 e \frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1, portanto
(\nabla\cdot\tau)_z = -1 + \frac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z}.
Resumindo:
\nabla\cdot\tau = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1 + \dfrac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicamos a equação de equilíbrio com a força de massa fornecida B=(0,0,-\gamma), isto é
\nabla\cdot\tau + B = 0.
Substituindo os vetores:
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1 + \dfrac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As duas primeiras componentes dão 0+0=0 e estão satisfeitas automaticamente. A terceira componente fornece a equação diferencial
-1 + \frac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z} - \gamma = 0.
Reescrevendo:
\frac{\partial \sigma_{\mathrm{z}}}{\partial z} = 1 + \gamma.]

Passo 5

Integramos a equação em relação a z. A derivada parcial de \sigma_{\mathrm{z}} em relação a z é constante 1+\gamma, então a primitiva é
\sigma_{\mathrm{z}}(x,y,z) = (1+\gamma)\,z + \varphi(x,y),
onde \varphi(x,y) é uma função arbitrária que pode depender de x e y (constante de integração em relação a z). Explico por que \varphi pode depender de x,y: ao integrar uma derivada parcial \partial\sigma_{\mathrm{z}}/\partial z em z, qualquer termo que não dependa de z (ou seja, função de x,y somente) some na diferenciação, então aparece como “constante” de integração que pode variar em x e y.
Sem condições de contorno adicionais essa é a forma mais geral de \sigma_{\mathrm{z}} que garante equilíbrio com B=-\gamma\mathbf{k}. Se o problema der condições de contorno que fixem \sigma_{\mathrm{z}} numa superfície, então \varphi(x,y) seria determinada por essas condições; na falta delas, \varphi permanece arbitrária.

Resposta

\displaystyle \sigma_{\mathrm{z}}(x,y,z)=(1+\gamma)\,z+\varphi(x,y)

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