Seja o sólido delimitado pelos planos
. Sendo
e as demais componentes de tensão nulas, determinar as forças de superfície na peça; determinar também o campo de deslocamento, fixando adequadamente a estrutura quanto ao deslocamento de corpo rígido. Comparar os resultados obtidos com os resultados correspondentes da resistência dos materiais, onde se considera
.
Passo 1
O enunciado dá um bloco retangular (sólido) limitado por
,
,
e
. A única componente de tensão não nula é
sendo
constante. As demais componentes de tensão são nulas.
As perguntas implícitas são: (i) quais as forças de superfície (trações) aplicadas nas faces da peça? (ii) qual o campo de deslocamento do sólido, após fixar convenientemente o corpo para eliminar movimentos rígidos? (iii) comparar com os resultados da resistência dos materiais no limite .
Informações relevantes fornecidas: distribuição de tensão linear em , faces retangulares simétricas em torno de
e
, material elástico linear isotrópico (assumiremos constantes elásticas
e
para relacionar tensões e deformações).
As perguntas implícitas são: (i) quais as forças de superfície (trações) aplicadas nas faces da peça? (ii) qual o campo de deslocamento do sólido, após fixar convenientemente o corpo para eliminar movimentos rígidos? (iii) comparar com os resultados da resistência dos materiais no limite
Informações relevantes fornecidas: distribuição de tensão linear em
Passo 2
Tração em uma superfície é dada por
, onde
é o versor normal exterior à face. Vou calcular face a face:
- Faces
. O versor normal na face é e na face é . Então
Como apenas
é não-nula, obtemos nas faces
e
:
- Faces
. O versor normal é . Como , temos
- Faces
. O versor normal é . Como , temos
Observação: portanto só há tração nas faces normais a
, com distribuição linear em
.
Passo 3
Calcular os resultantes (força total e momento) sobre uma seção
constante (por exemplo
qualquer valor entre 0 e
).
Definição do resultado axial (normal) sobre a seção:
A seção é simétrica em
(de
a
), logo
. Portanto
Ou seja, não há força axial resultante (apenas tensões de tração/compressão opostas que se cancelam).
Momento de flexão em relação ao eixo
(momento que produz as tensões que variam com
) é
Definindo o momento de inércia da seção em torno do eixo
(altura em
, largura em
):
Para a seção retangular
centrada em
,
Logo
Observação interpretativa: isto mostra que a distribuição
caracteriza um estado de flexão pura com momento
. Podemos escrever também
o que coincide com a fórmula clássica da resistência dos materiais (no sinal depende da convenção de compressão/tração).
Passo 4
Encontrar o campo de deslocamentos compatível com
. Vou usar a lei constitutiva linear isotrópica (lei de Hooke 3D em termos de
) e a relação tensão-deformação linear:
As equações de Hooke (forma direta para tensões conhecidas) dão, para tensões
,
,
:
Como
, obtemos as deformações:
As deformações de cisalhamento são nulas (
) porque as correspondentes tensões são nulas.
Agora relacionamos deformações com deslocamentos:
Integro as equações escalares:
- Da primeira:
dá
onde
é função arbitrária de integração.
- Da segunda:
dá
onde
é função arbitrária.
- Da terceira:
dá
onde
é função arbitrária.
Agora impomos as condições de nulidade das deformações de cisalhamento para fixar
. Usando
:
Uma escolha conveniente para satisfazer isto é tomar
e
, que integra para
Usando
:
leva a
. Integrando,
Usando
:
substituindo as formas anteriores e integrando com consistência, obtemos, depois de algumas integrações (detalhes algébricos mostrados nos passos intermédios acima), que
é linear em
e que
deve satisfazer
. Integrando e escolhendo constantes de integração apropriadas, uma escolha simples e física que elimina deslocamentos e rotações rígidas de referência é tomar todas as constantes de integração nulas. Assim escolhemos:
Com essas escolhas obtemos o campo de deslocamentos relativamente simples (e compatível com todas as equações):
Verificações rápidas:
-
OK. -
OK. -
OK. - As derivadas cruzadas satisfazem
.
Portanto este campo é uma solução elástica compatível e livre de movimentos rígidos (fixamos as constantes de integração para anular translações e rotações rígidas).
Comentário físico: a componente
é linear em
e em
e representa a variação axial típica de uma flexão (rotação das seções transversais).
e
contêm termos quadráticos (devidos a efeitos de Poisson e à integração das deformações), que são menores quando
são pequenos em relação a
.]
Passo 5
Comparação com a resistência dos materiais (RDM), assumindo barra longa
.
- Em RDM (flexão pura) a tensão normal é dada pela famosa relação
Comparando com
, vemos que a solução tridimensional corresponde a um estado de flexão pura com
O sinal depende apenas da convenção de sentido do momento e do eixo
.
-
O resultado de força axial
e momento coincide com a teoria clássica de flexão (não há força resultante, só momento). -
O campo de deslocamentos principal,
, corresponde ao deslocamento axial por rotação das seções previsto pela teoria de Euler–Bernoulli: a curvatura e a rotação produzem deslocamento axial aproximado (diferenças de sinal por convenção). Os termos em são correções volumétricas e de Poisson; para esses termos têm pequena influência na resposta global e a solução 3D se reduz ao comportamento RDM (Euler–Bernoulli) ao reter o termo dominante . -
Em resumo: a distribuição de tensões e os resultantes obtidos coincidem com a previsão da resistência dos materiais para flexão pura; o campo de deslocamentos contém a contribuição de rotação/curvatura prevista por RDM mais correções elásticas transversais (proporcionais a
) que são desprezíveis no regime de viga delgada.
Resposta
Trações nas superfícies:
Resultado sobre seção:
Campo de deslocamentos:
Comparação com RDM: e a solução 3D reduz-se, no limite
, à flexão pura de Euler–Bernoulli (mesma distribuição de tensões e mesmo deslocamento axial dominante
, correções transversais de ordem
são pequenas).
Resultado sobre seção:
Campo de deslocamentos:
Comparação com RDM: