Dadas as curvas paramétricas, encontre d yd x em termos de theta.
x(theta)=theta-sen(theta) e y(theta)=1-cos (theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada em termos de para as curvas paramétricas dadas: e . Isso envolve o uso de derivadas paramétricas, onde a gente precisa encontrar a taxa de variação de em relação a usando um parâmetro intermediário, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de dxdtheta = ddtheta(theta) - ddtheta(sen(theta)) = 1 - cos(theta) em relação a , ou seja, . A expressão para é . Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dydtheta = ddtheta(1) - ddtheta(cos(theta)) = 0 + sen(theta) = sen(theta) em relação a , ou seja, . A expressão para é . Derivando em relação a :

Passo 4

Para encontrar dydx = dydthetadxdtheta , usamos a regra das derivadas paramétricas, que diz que:
dydx = sen(theta)1 - cos(theta)
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada dydx = sen(theta)1 - cos(theta) em termos de é:

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