Dadas dols vetares:
\left\{ \begin{array}{l} \hat{T}=2 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k} \\\ \hat{B}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} \end{array} \right.
Achar o produto vetorial dos dois vetores.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores (peguei as componentes diretamente do enunciado) e pede o produto vetorial entre eles. As informações fornecidas são:
  • \hat{T} = 2\hat{i} - 1\hat{j} - 4\hat{k}. Ou seja, as componentes são \hat{T} = (2,\,-1,\,-4).
  • \hat{B} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}. Ou seja, as componentes são \hat{B} = (5,\,2,\,1).
    A tarefa: calcular \hat{T}\times\hat{B}.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calcular sem confundir sinais:
  • O produto vetorial \hat{a}\times\hat{b} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos. A componente do produto vetorial pode ser obtida por:
\hat{a}\times\hat{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr),
onde \hat{a}=(a_1,a_2,a_3) e \hat{b}=(b_1,b_2,b_3).
  • Outra forma equivalente (mais visual) é usar o determinante com os versores \hat{i},\hat{j},\hat{k}:
\hat{a}\times\hat{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Aqui: a_1,a_2,a_3 são as componentes do primeiro vetor e b_1,b_2,b_3 as do segundo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado: com \hat{T}=(2,-1,-4) e \hat{B}=(5,2,1) escrevemos o determinante
\hat{T}\times\hat{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\\ 2 & -1 & -4 \\\\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calcular a primeira componente (componente em \hat{i}) usando a fórmula \;a_2 b_3 - a_3 b_2\;:
\text{componente em }\hat{i} = (-1)\cdot 1 - (-4)\cdot 2 = -1 - (-8) = -1 + 8 = 7.

Passo 5

Calcular a segunda componente (componente em \hat{j}) usando a fórmula \;a_3 b_1 - a_1 b_3\;:
\text{componente em }\hat{j} = (-4)\cdot 5 - 2\cdot 1 = -20 - 2 = -22.
(Observação: na expansão pelo determinante aparece um sinal negativo na posição de \hat{j}; a fórmula que usei já incorpora esse sinal corretamente.)

Passo 6

Calcular a terceira componente (componente em \hat{k}) usando a fórmula \;a_1 b_2 - a_2 b_1\;:
\text{componente em }\hat{k} = 2\cdot 2 - (-1)\cdot 5 = 4 - (-5) = 4 + 5 = 9.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): checar que o resultado é ortogonal a ambos os vetores, calculando produto escalar com \hat{T} e com \hat{B}.
  • Com \hat{T}: (2,\,-1,\,-4)\cdot(7,\,-22,\,9)=2\cdot7 + (-1)\cdot(-22) + (-4)\cdot9 = 14 + 22 -36 = 0.
  • Com \hat{B}: (5,\,2,\,1)\cdot(7,\,-22,\,9)=5\cdot7 + 2\cdot(-22) + 1\cdot9 = 35 -44 +9 = 0.
    Como ambos produtos escalares são \;0\;, o vetor calculado é realmente perpendicular a \hat{T} e a \hat{B}, o que confirma a correção.

Resposta

\;7\hat{i}-22\hat{j}+9\hat{k}\;

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