Dadas dols vetares:
\left\{ \begin{array}{l} \hat{T}=2 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k} \\\ \hat{B}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} \end{array} \right.
Achar o produlo escalar dos dois vetores;

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional e pede o produto escalar entre eles. Os dados fornecidos são (peguei estes vetores do enunciado):
\hat{T}=2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}
\hat{B}=5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}
A pergunta clara é: calcular \hat{T}\cdot\hat{B}.

Passo 2

Vamos revisar o que é produto escalar de vetores em componentes (aula rápida e prática). Para dois vetores
\mathbf{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k} \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k},
o produto escalar é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Explicando cada termo: u_x e v_x são as componentes na direção \hat{i} (eixo x), u_y e v_y as componentes em \hat{j} (eixo y), e u_z e v_z as componentes em \hat{k} (eixo z). Ou seja, multiplica-se cada par de componentes correspondentes e soma-se tudo. Geometricamente, também vale \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles — mas aqui usamos a definição por componentes, que é a mais direta para esse exercício.

Passo 3

Identificar as componentes de \hat{T} e \hat{B} a partir dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
T_x=2,\qquad T_y=-1,\qquad T_z=-4,
B_x=5,\qquad B_y=2,\qquad B_z=1.

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar multiplicando componente a componente:
T_x B_x = 2\cdot 5 = 10,
T_y B_y = (-1)\cdot 2 = -2,
T_z B_z = (-4)\cdot 1 = -4.
Repare que multiplicar número negativo por positivo dá negativo — por isso os dois últimos produtos são negativos.

Passo 5

Somar os produtos obtidos para ter o produto escalar:
\hat{T}\cdot\hat{B}=10 + (-2) + (-4)=10-2-4=4.

Passo 6

Comentário didático rápido (reforço): se o produto escalar tivesse dado 0, os vetores seriam ortogonais (perpendiculares). Aqui \hat{T}\cdot\hat{B}=4\neq0, então eles não são ortogonais. Um exemplo simples para treinar: (1,0,0)\cdot(0,1,0)=0 porque as componentes correspondentes dão 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0.

Resposta

4

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