- Dadas duas funções harmônicas
, diz-se que
é conjugada harmônica de
quando
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
(a) Para a função
, verifique que
é uma conjugada harmônica de
e exiba a função holomorfa
.
(b) Mostre que toda conjugada harmônica de
é da forma
, para alguma constante real
.
(a) Para a função
(b) Mostre que toda conjugada harmônica de
Passo 1
O enunciado está no contexto de funções harmônicas e conjugadas harmônicas: uma função real
é harmônica se satisfaz
, e
é conjugada harmônica de
quando juntos satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Aqui temos
e em (a) pedem para verificar que
é conjugada harmônica de
e então exibir a função holomorfa
. Em (b) pedem para mostrar que qualquer conjugada harmônica de
difere de
apenas por uma constante real.
Passo 2
Para verificar que
é conjugada harmônica de
calculamos as derivadas parciais:
As equações de Cauchy–Riemann exigem
De fato
e
, logo as condições estão satisfeitas e
é conjugada harmônica de
.
Passo 3
Como
e
satisfazem Cauchy–Riemann, a função complexa
é holomorfa. Substituindo
e
obtemos
Reconhecemos
, daí
com
.
Passo 4
Para (b), seja
qualquer conjugada harmônica de
. Novamente pelas equações de Cauchy–Riemann temos
Integrando em relação a
(tratando
como constante) vem
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Ainda pelas Cauchy–Riemann, deve valer
Mas de
temos
Comparando,
implica
, logo
para alguma constante real
. Portanto
como queríamos.
Resposta
(a) De fato
,
,
,
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, e
.
(b) Qualquer conjugada harmônica de é
(b) Qualquer conjugada harmônica de
com
.