1. Dadas duas funções harmônicas u, v: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, diz-se que v é conjugada harmônica de u quando u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
    (a) Para a função u(x, y)=x^{2}-y^{2}, verifique que v(x, y)=2 x y+2023 é uma conjugada harmônica de u e exiba a função holomorfa f=u+i v.
    (b) Mostre que toda conjugada harmônica de u(x, y)=x^{2}-y^{2} é da forma v(x, y)=2 x y+c, para alguma constante real c.

Passo 1

O enunciado está no contexto de funções harmônicas e conjugadas harmônicas: uma função real u(x,y) é harmônica se satisfaz \Delta u=0, e v é conjugada harmônica de u quando juntos satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Aqui temos
u(x,y)=x^2 - y^2
e em (a) pedem para verificar que
v(x,y)=2xy + 2023
é conjugada harmônica de u e então exibir a função holomorfa f=u+iv. Em (b) pedem para mostrar que qualquer conjugada harmônica de u difere de 2xy apenas por uma constante real.

Passo 2

Para verificar que v é conjugada harmônica de u calculamos as derivadas parciais:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2)=2x,\quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2)=-2y,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(2xy + 2023)=2y,\quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + 2023)=2x.
As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
De fato 2x=v_y e -2y=-\,v_x, logo as condições estão satisfeitas e v é conjugada harmônica de u.

Passo 3

Como u e v satisfazem Cauchy–Riemann, a função complexa
f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)
é holomorfa. Substituindo u e v obtemos
f(x+iy)=(x^2 - y^2) + i\,(2xy + 2023).
Reconhecemos (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2i\,xy, daí
f(z)=z^2 + 2023\,i,
com z=x+iy.

Passo 4

Para (b), seja v qualquer conjugada harmônica de u. Novamente pelas equações de Cauchy–Riemann temos
\frac{\partial v}{\partial y}=u_x=2x.
Integrando em relação a y (tratando x como constante) vem
v(x,y)=\int 2x\,dy = 2x\,y + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x.

Passo 5

Ainda pelas Cauchy–Riemann, deve valer
\frac{\partial v}{\partial x}=-\,u_y=2y.
Mas de v(x,y)=2xy+\varphi(x) temos
\frac{\partial v}{\partial x}=2y + \varphi'(x).
Comparando, 2y + \varphi'(x)=2y implica \varphi'(x)=0, logo \varphi(x)=c para alguma constante real c. Portanto
v(x,y)=2xy + c,
como queríamos.

Resposta

(a) De fato u_x=2x, u_y=-2y, v_x=2y, v_y=2x satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, e f(z)=z^2+2023\,i.
(b) Qualquer conjugada harmônica de u(x,y)=x^2-y^2 é
v(x,y)=2xy+c,
com c\in\mathbb{R}.

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