1. Dadas duas retas de equações r_{1}:(x, y, z)=(0,1,0)+t(1,0,0) e r_{2}:(x, y, z)=(-1,2,-7)+t(2,1,-3). Obtenha a eq. paramétrica da reta s que é concorrente à r_{1} e r_{2}, e paralela ao vetor \vec{u}=(1,-5,-1).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e um vetor. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Reta r_{1}: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,0,0). Ou seja, pontos de r_{1} têm coordenadas
(x,y,z)=(t,\,1,\,0),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Reta r_{2}: (x,y,z)=(-1,2,-7)+s(2,1,-3). Ou seja, pontos de r_{2} têm coordenadas
(x,y,z)=(-1+2s,\,2+s,\,-7-3s),\qquad s\in\mathbb{R}.
  • Vetor dado \vec{u}=(1,-5,-1).
O que pediram: obter a equação paramétrica da reta s que é concorrente a r_{1} e r_{2} e paralela a \vec{u}.
Interpretação usada: "concorrente a r_{1} e r_{2}" significa que a reta s intersecta r_{1} em algum ponto A e intersecta r_{2} em algum ponto B (não requer que todos os três se encontrem num mesmo ponto). Além disso, s deve ser paralela a \vec{u}, então o vetor diretor de s será proporcional a \vec{u}; usaremos exatamente \vec{u} como vetor diretor.

Passo 2

Parâmetros para os pontos de interseção. Seja A o ponto de interseção de s com r_{1} e seja B o ponto de interseção de s com r_{2}. Escrevo A e B em função dos parâmetros das retas dadas:
  • Um ponto genérico de r_{1} é
A=(a,\,1,\,0),
onde \,a\in\mathbb{R} é o parâmetro (aqui renomeei t para a só para não confundir com o parâmetro da reta s que virá depois).
  • Um ponto genérico de r_{2} é
B=(-1+2b,\,2+b,\,-7-3b),
onde b\in\mathbb{R} é o parâmetro correspondente à r_{2}.
Para que A e B pertençam à mesma reta s com vetor diretor \vec{u}, o vetor \overrightarrow{AB}=B-A deve ser paralelo a \vec{u}.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB} em termos de a e b. Subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=\big(-1+2b-a,\;1+b,\;-7-3b\big).
A condição de paralelismo a \vec{u}=(1,-5,-1) é: existe um escalar \lambda tal que
\overrightarrow{AB}=\lambda(1,-5,-1).
Isto gera o sistema de três equações nas incógnitas a,b,\lambda:
\begin{cases} -1+2b-a = \lambda,\\[4pt] 1+b = -5\lambda,\\[4pt] -7-3b = -\lambda. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema. Da terceira equação isolamos \lambda:
-7-3b = -\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = 7+3b.
Substituímos \lambda na segunda equação:
1+b = -5\lambda = -5(7+3b) = -35-15b.
Agora resolvemos para b:
1+b +35 +15b = 0 \quad\Rightarrow\quad 16b +36 = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -\dfrac{36}{16} = -\dfrac{9}{4}.
Com b=-\dfrac{9}{4} obtemos \lambda:
\lambda = 7+3b = 7+3\Big(-\dfrac{9}{4}\Big) = 7-\dfrac{27}{4} = \dfrac{28-27}{4} = \dfrac{1}{4}.
Agora usamos a primeira equação para achar a:
-1+2b-a = \lambda \quad\Rightarrow\quad a = 2b-1-\lambda.
Substituindo b e \lambda:
a = 2\Big(-\dfrac{9}{4}\Big)-1-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{9}{2}-1-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{18}{4}-\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{23}{4}.

Passo 5

Determinar os pontos A (na r_{1}) e B (na r_{2}) explicitamente para checar:
  • Ponto A: A=\big(a,\,1,\,0\big)=\Big(-\dfrac{23}{4},\,1,\,0\Big).
  • Ponto B: usando b=-\dfrac{9}{4},
B=\Big(-1+2b,\,2+b,\,-7-3b\Big)=\Big(-\dfrac{11}{2},\;-\dfrac{1}{4},\;-\dfrac{1}{4}\Big).
Calcular \overrightarrow{AB}=B-A:
\overrightarrow{AB}=\Big(-\dfrac{11}{2}+\dfrac{23}{4},\;-\dfrac{1}{4}-1,\;-\dfrac{1}{4}-0\Big)=\Big(\dfrac{1}{4},\;-\dfrac{5}{4},\;-\dfrac{1}{4}\Big)=\dfrac{1}{4}(1,-5,-1).
Isso confirma que \overrightarrow{AB} é paralelo a \vec{u} com \lambda=\dfrac{1}{4}. Portanto a reta que passa por A e tem direção \vec{u} atende ao pedido.

Passo 6

Escrever a equação paramétrica da reta s. Tomando ponto A=\Big(-\dfrac{23}{4},1,0\Big) e vetor diretor \vec{u}=(1,-5,-1), a equação paramétrica de s é
\boxed{(x,y,z)=\Big(-\dfrac{23}{4},\,1,\,0\Big)+t(1,-5,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.}
(Alternativamente poderia usar o ponto B como ponto base; ambas as formas representam a mesma reta.)

Resposta

(x,y,z)=\Big(-\dfrac{23}{4},\,1,\,0\Big)+t(1,-5,-1)

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