Dadas duas retas de equações r_{1}:(x, y, z)=(0,1,0)+t(1,0,0) e r_{2}:(x, y, z)=(-1,2,-7)+t(2,1,-3). Obtenha a eq. paramétrica da reta s que é concorrente à r_{1} e r_{2}, e paralela ao vetor \vec{u}=(1,-5,-1).
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e um vetor. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Reta r_{1}: (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,0,0). Ou seja, pontos de r_{1} têm coordenadas
(x,y,z)=(t,\,1,\,0),\qquad t\in\mathbb{R}.
Reta r_{2}: (x,y,z)=(-1,2,-7)+s(2,1,-3). Ou seja, pontos de r_{2} têm coordenadas
O que pediram: obter a equação paramétrica da reta s que é concorrente a r_{1} e r_{2} e paralela a \vec{u}.
Interpretação usada: "concorrente a r_{1} e r_{2}" significa que a reta s intersecta r_{1} em algum ponto A e intersecta r_{2} em algum ponto B (não requer que todos os três se encontrem num mesmo ponto). Além disso, s deve ser paralela a \vec{u}, então o vetor diretor de s será proporcional a \vec{u}; usaremos exatamente \vec{u} como vetor diretor.
Passo 2
Parâmetros para os pontos de interseção. Seja A o ponto de interseção de s com r_{1} e seja B o ponto de interseção de s com r_{2}. Escrevo A e B em função dos parâmetros das retas dadas:
Um ponto genérico de r_{1} é
A=(a,\,1,\,0),
onde \,a\in\mathbb{R} é o parâmetro (aqui renomeei t para a só para não confundir com o parâmetro da reta s que virá depois).
Um ponto genérico de r_{2} é
B=(-1+2b,\,2+b,\,-7-3b),
onde b\in\mathbb{R} é o parâmetro correspondente à r_{2}.
Para que A e B pertençam à mesma reta s com vetor diretor \vec{u}, o vetor \overrightarrow{AB}=B-A deve ser paralelo a \vec{u}.
Passo 3
Calcular \overrightarrow{AB} em termos de a e b. Subtraindo coordenadas:
Isso confirma que \overrightarrow{AB} é paralelo a \vec{u} com \lambda=\dfrac{1}{4}. Portanto a reta que passa por A e tem direção \vec{u} atende ao pedido.
Passo 6
Escrever a equação paramétrica da reta s. Tomando ponto A=\Big(-\dfrac{23}{4},1,0\Big) e vetor diretor \vec{u}=(1,-5,-1), a equação paramétrica de s é