1. Considere as seguintes retas: r : \frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{3}=\frac{z+2}{5} \mathrm{e} s: x=y=\frac{z-1}{4}
b) Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo à s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede uma equação geral do plano que contém a reta r e é paralelo à reta s.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • Reta r: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{3}=\dfrac{z+2}{5}.
  • Reta s: x=y=\dfrac{z-1}{4}.
O que precisa ser encontrado:
  • Uma equação geral do plano que contém r e que é paralelo a s.

Passo 2

Converter as formas simétricas das retas para a forma paramétrica para extrair um ponto de r e os vetores diretores de r e s.
Para r: seja t=\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{3}=\dfrac{z+2}{5}. Então
x=1+3t,\qquad y=5+3t,\qquad z=-2+5t.
Um ponto que pertence a r obtido tomando t=0 é
P_0=(1,5,-2).
O vetor diretor de r (coeficientes de t) é
\vec{v}_r=(3,3,5).
Para s: seja u=x=y. Então \dfrac{z-1}{4}=u implica
x=u,\qquad y=u,\qquad z=1+4u.
O vetor diretor de s (coeficientes de u) é
\vec{v}_s=(1,1,4).

Passo 3

Entender o critério para obter a equação de um plano: um plano pode ser descrito pela equação vetorial
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P_0})=0,
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano, \vec{X}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano e \vec{P_0} é um ponto conhecido do plano. Para achar \vec{n} é suficiente ter dois vetores não paralelos que estejam contidos no plano e calcular o produto vetorial (cross product) entre eles, porque o cross product de dois vetores do plano resulta em um vetor perpendicular ao plano.
Neste problema:
  • O plano contém a reta r, então \vec{v}_r está contido no plano.
  • O plano é paralelo a s, logo \vec{v}_s é paralelo ao plano (ou seja, também pode ser tomado como vetor contido no plano).
    Portanto \vec{v}_r e \vec{v}_s são dois vetores do plano; o vetor normal será \vec{n}=\vec{v}_r\times\vec{v}_s.

Passo 4

Explicar e aplicar o produto vetorial (cross product).
Definição prática (para três dimensões): se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
o que dá, em coordenadas,
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\big).
Esse vetor é perpendicular tanto a \vec{a} quanto a \vec{b}. Aqui vamos aplicar com \vec{a}=\vec{v}_r e \vec{b}=\vec{v}_s.

Passo 5

Calcular o vetor normal \vec{n}=\vec{v}_r\times\vec{v}_s com \vec{v}_r=(3,3,5) e \vec{v}_s=(1,1,4).
Usando a fórmula:
\vec{n}=\big(3\cdot4-5\cdot1,\;5\cdot1-3\cdot4,\;3\cdot1-3\cdot1\big).
Calcule cada componente:
\text{1ª componente: }3\cdot4-5\cdot1=12-5=7,ª
\text{2ª componente: }5\cdot1-3\cdot4=5-12=-7,ª
\text{3ª componente: }3\cdot1-3\cdot1=3-3=0.ª
Portanto
\vec{n}=(7,-7,0).
Podemos simplificar dividindo por 7 (qualquer múltiplo não-zero de \vec{n} é também um normal válido), obtendo o normal mais simples
\vec{n}=(1,-1,0).

Passo 6

Montar a equação do plano usando \vec{n} e o ponto P_0=(1,5,-2).
A equação vetorial é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P_0})=0,
ou, escrevendo \vec{X}=(x,y,z) e \vec{P_0}=(1,5,-2),
(1,-1,0)\cdot(x-1,\;y-5,\;z+2)=0.
Calcule o produto escalar:
1\cdot(x-1)+(-1)\cdot(y-5)+0\cdot(z+2)=0.
Isso dá
x-1 -y+5 +0 =0 \quad\Rightarrow\quad x-y+4=0.

Passo 7

Interpretar e verificar rapidamente: a equação \,x-y+4=0 não tem termo em z, o que significa que o plano é paralelo ao eixo z (ou seja, a componente do normal no z é zero). Verificar que a reta r está no plano: para o ponto P_0=(1,5,-2) tem-se 1-5+4=0, ok; os vetores diretores também são ortogonais ao normal: (1,-1,0)\cdot(3,3,5)=0 e (1,-1,0)\cdot(1,1,4)=0, confirmando que ambos os vetores estão no plano.

Resposta

x-y+4=0

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