Uma equação geral do plano que contém r e que é paralelo a s.
Passo 2
Converter as formas simétricas das retas para a forma paramétrica para extrair um ponto de r e os vetores diretores de r e s.
Para r: seja t=\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{3}=\dfrac{z+2}{5}. Então
x=1+3t,\qquad y=5+3t,\qquad z=-2+5t.
Um ponto que pertence a r obtido tomando t=0 é
P_0=(1,5,-2).
O vetor diretor de r (coeficientes de t) é
\vec{v}_r=(3,3,5).
Para s: seja u=x=y. Então \dfrac{z-1}{4}=u implica
x=u,\qquad y=u,\qquad z=1+4u.
O vetor diretor de s (coeficientes de u) é
\vec{v}_s=(1,1,4).
Passo 3
Entender o critério para obter a equação de um plano: um plano pode ser descrito pela equação vetorial
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P_0})=0,
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano, \vec{X}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano e \vec{P_0} é um ponto conhecido do plano. Para achar \vec{n} é suficiente ter dois vetores não paralelos que estejam contidos no plano e calcular o produto vetorial (cross product) entre eles, porque o cross product de dois vetores do plano resulta em um vetor perpendicular ao plano.
Neste problema:
O plano contém a reta r, então \vec{v}_r está contido no plano.
O plano é paralelo a s, logo \vec{v}_s é paralelo ao plano (ou seja, também pode ser tomado como vetor contido no plano).
Portanto \vec{v}_r e \vec{v}_s são dois vetores do plano; o vetor normal será \vec{n}=\vec{v}_r\times\vec{v}_s.
Passo 4
Explicar e aplicar o produto vetorial (cross product).
Definição prática (para três dimensões): se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
Podemos simplificar dividindo por 7 (qualquer múltiplo não-zero de \vec{n} é também um normal válido), obtendo o normal mais simples
\vec{n}=(1,-1,0).
Passo 6
Montar a equação do plano usando \vec{n} e o ponto P_0=(1,5,-2).
A equação vetorial é
\vec{n}\cdot(\vec{X}-\vec{P_0})=0,
ou, escrevendo \vec{X}=(x,y,z) e \vec{P_0}=(1,5,-2),
(1,-1,0)\cdot(x-1,\;y-5,\;z+2)=0.
Calcule o produto escalar:
1\cdot(x-1)+(-1)\cdot(y-5)+0\cdot(z+2)=0.
Isso dá
x-1 -y+5 +0 =0 \quad\Rightarrow\quad x-y+4=0.
Passo 7
Interpretar e verificar rapidamente: a equação \,x-y+4=0 não tem termo em z, o que significa que o plano é paralelo ao eixo z (ou seja, a componente do normal no z é zero). Verificar que a reta r está no plano: para o ponto P_0=(1,5,-2) tem-se 1-5+4=0, ok; os vetores diretores também são ortogonais ao normal: (1,-1,0)\cdot(3,3,5)=0 e (1,-1,0)\cdot(1,1,4)=0, confirmando que ambos os vetores estão no plano.