Considere as retas r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{4} e s : \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-4}{4}.
Verifique que as retas r e s determinam um plano \pi. Dê uma equação geral de \pi.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma simétrica e pede para:
Verificar que as retas r e s determinam um plano \pi.
Fornecer uma equação geral de \pi.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
r:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z}{4}.
s:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-4}{4}.
Estas são as informações que usaremos nos próximos passos.
Passo 2
Passo inicial técnico: transformar as formas simétricas em formas paramétricas (vetoriais), para extrair pontos e vetores-direção de cada reta.
Para r introduzo o parâmetro t e escrevo:
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{4}=t.
Isso dá as equações paramétricas
x=1+2t,\qquad y=3+3t,\qquad z=4t.
Logo um ponto de r é
A=(1,3,0)
(obtido em t=0) e um vetor-direção de r é
\vec{v}=(2,3,4).
Para s introduzo o parâmetro u:
\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-4}{4}=u.
Isso dá
x=2u,\qquad y=3u,\qquad z=4+4u.
Um ponto de s é
B=(0,0,4)
(obtido em u=0) e o vetor-direção de s é
\vec{w}=(2,3,4).
Passo 3
Comparar vetores-direção e verificar posição relativa das retas.
Observação: os vetores-direção são
\vec{v}=(2,3,4),\qquad \vec{w}=(2,3,4).
Como \vec{v}=\vec{w}, as retas são paralelas (mesma direção). Para saber se são coincidentes ou paralelas distintas, tentamos ver se existe ponto comum.
Procuramos t,u tais que
1+2t=2u,\qquad 3+3t=3u,\qquad 4t=4+4u.
Da segunda equação tem-se 1+t=u. Substituindo na primeira:
1+2t = 2(1+t)=2+2t \quad\Rightarrow\quad 1=2,
contradição. Portanto não existe solução comum: as retas não se interceptam e não são coincidentes. Conclusão: são retas paralelas distintas.
Raciocínio geométrico: duas retas paralelas distintas pertencem a um mesmo plano único (pense: existe exatamente um plano que contém uma reta r e uma reta s paralela a ela, basta pegar uma reta e um ponto fora dela — o plano é determinado). Assim, r e s determinam um plano \pi.
Passo 4
Agora vamos obter uma equação da reta \pi. Método: tomar um vetor-direção comum \vec{v} e um vetor que liga um ponto de uma reta ao ponto da outra reta (por exemplo \overrightarrow{AB}); o produto vetorial entre esses dois vetores dá um vetor normal \vec{n} ao plano.
Calcular o produto vetorial \vec{n}=\vec{v}\times\overrightarrow{AB}. Lembrando que o produto vetorial entre \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é dado por
OK — \vec{n} é normal ao plano que contém as duas retas.
Passo 5
Equação cartesiana do plano: se \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Usando \vec{n}=(8,-4,-1) e o ponto A=(1,3,0) (poderia usar B também), obtemos
8(x-1)-4(y-3)-1(z-0)=0.
Expandindo:
8x-8-4y+12-z=0.
Simplificando:
8x-4y-z+4=0.
Como verificação final (útil na prova): qualquer ponto da reta r ou s satisfaz esta equação. Por exemplo, ponto genérico de r é (1+2t,3+3t,4t); substituindo:
8(1+2t)-4(3+3t)-(4t)+4 = (8+16t)-(12+12t)-4t+4=0.
Cancelam-se os termos, ficando 0. Mesmo para s funciona. Portanto a equação é correta.