Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais não passa nenhuma reta que se apoie em ambas?

Passo 1

Temos duas retas reversas em R^3, ou seja, duas retas l1 e l2 que não se intersectam e não são paralelas. A questão pergunta se existe ponto P para o qual não passe nenhuma reta que interseccione ao mesmo tempo l1 e l2.

Passo 2

Uma reta m que interseccione simultaneamente l1 e l2 é chamada de transversal. Para ser transversal, m deve conter um ponto Ain l1 e um ponto Bin l2.

Passo 3

Podemos parametrizar l1 e l2 assim:
l1:;A(s)=a+su, sin R,
l2:;B(t)=b+tv, tin R,
onde a,b são pontos fixos em l1,l2 e u,v são vetores diretores. A reta que passa por A(s) e B(t) é dada por
ms,t:;P(lambda)=(1-lambda)l(a+sur)+lambdal(b+tvr),lambdain R

Passo 4

A união de todas essas retas ms,t (variando s,t) forma uma superfície quádrupla (um quadriculado regrado) em R^3 que contém l1 e l2.
Essa superfície é bidimensional (é um “paraboloide” ou “hiperboloide” regrado). Como R^3 tem dimensão 3, existem infinitos pontos fora dessa superfície.

Passo 5

Para qualquer ponto P que não pertença a essa superfície regrada, não há valores de s,t,lambda que o expressem como (1-lambda)(a+su)+lambda(b+tv). Logo, por esses P não passa nenhuma reta transversal.
Concluímos que sim, existem infinitos pontos P pelos quais não passa nenhuma reta que interseccione simultaneamente as duas retas reversas.

Resposta

Sim. Todos os pontos que não pertencem ao paraboloide (ou hiperboloide) regrado gerado pelas transversais a l1 e l2 não admitem reta que intersecte ambas as retas dadas.

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