Dadas duas retas reversas, existem pontos
pelos quais não passa nenhuma reta que se apoie em ambas?
Passo 1
Temos duas retas reversas em
, ou seja, duas retas
e
que não se intersectam e não são paralelas. A questão pergunta se existe ponto
para o qual não passe nenhuma reta que interseccione ao mesmo tempo
e
.
Passo 2
Uma reta
que interseccione simultaneamente
e
é chamada de transversal. Para ser transversal,
deve conter um ponto
e um ponto
.
Passo 3
Podemos parametrizar
e
assim:
onde
Passo 4
A união de todas essas retas
(variando
) forma uma superfície quádrupla (um quadriculado regrado) em
que contém
e
.
Essa superfície é bidimensional (é um “paraboloide” ou “hiperboloide” regrado). Como tem dimensão 3, existem infinitos pontos fora dessa superfície.
Essa superfície é bidimensional (é um “paraboloide” ou “hiperboloide” regrado). Como
Passo 5
Para qualquer ponto
que não pertença a essa superfície regrada, não há valores de
que o expressem como
. Logo, por esses
não passa nenhuma reta transversal.
Concluímos que sim, existem infinitos pontos pelos quais não passa nenhuma reta que interseccione simultaneamente as duas retas reversas.
Concluímos que sim, existem infinitos pontos
Resposta
Sim. Todos os pontos que não pertencem ao paraboloide (ou hiperboloide) regrado gerado pelas transversais a
e
não admitem reta que intersecte ambas as retas dadas.