Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=e^r t.
y^prime prime prime+y^prime prime-6 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de r tais que a equação diferencial
y''' + y'' - 6y' = 0
tenha solução da forma y = e^rt. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar o palpite y=e^rt.

Passo 2

Supondo y = e^rt, calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO:
y = e^rt, y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt, y''' = r^3 e^rt

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação diferencial temos
r^3 e^rt + r^2 e^rt - 6r e^rt = 0
Fatorando e^rt, que nunca é zero, sobra a equação característica

Passo 4

A equação característica é
r^3 + r^2 - 6r = 0
Fatorando r temos
r(r^2 + r - 6) = 0

Passo 5

Resolve-se agora cada fator igual a zero. Do primeiro fator vem
r = 0
Do segundo, que é uma equação quadrática, temos
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52,
portanto

Passo 6

os valores de r são

Passo 7

r = 2, r = -3

Resposta

Os valores de r são 0, 2 e -3.

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