Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a equação diferencial
tenha solução da forma
. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar o palpite
.
Passo 2
Supondo
, calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação diferencial temos
Fatorando
, que nunca é zero, sobra a equação característica
Passo 4
A equação característica é
Fatorando
temos
Passo 5
Resolve-se agora cada fator igual a zero. Do primeiro fator vem
Do segundo, que é uma equação quadrática, temos
portanto
Passo 6
os valores de
são
Passo 7
Resposta
Os valores de r são 0, 2 e -3.