Dadas as equações, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisa descobrir qual é a derivada
. Isso envolve cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções que têm produtos e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, a regra do produto e as propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo. Sabemos que
, então podemos reescrever a equação:
Isso facilita na hora de derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a
. Lembre-se de que quando derivamos em relação a
,
também depende de
, então precisamos usar a derivada implícita.
A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
No lado direito, a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Primeiro, vamos trazer todos os termos que têm
para um lado da equação:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados pelo termo
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do denominador:
Substituindo de volta na equação:
Resposta
A derivada é: