Dadas as curvas paramétricas, encontre d yd x em termos de theta.
x(theta)=e^theta e y(theta)=ln (theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções que dependem de um parâmetro theta: x(theta)=e^theta e y(theta)=ln (theta). O que a gente precisa encontrar é a derivada dydx, que mostra como y muda em relação a x. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas de funções paramétricas, que envolve calcular as derivadas de x e y em relação a theta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como x muda quando theta muda. Isso significa calcular dxdtheta. A função x(theta)=e^theta tem uma derivada bem conhecida: a derivada de e^theta em relação a theta é simplesmente e^theta. Então:
dxdtheta = e^theta

Passo 3

Agora, vamos ver como y muda com theta. Precisamos calcular dydtheta. A função y(theta)=ln (theta) tem a derivada 1theta. Portanto:
dydtheta = 1theta

Passo 4

Com as duas derivadas em mãos, usamos a fórmula para a derivada de y em relação a x em funções paramétricas, que é:
dydx = dydthetadxdtheta
Vamos substituir as derivadas que encontramos:
dydx = 1thetae^theta

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
dydx = 1theta cdot e^theta

Resposta

A derivada dydx em termos de theta é:
dydx = 1theta , e^theta

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