Dadas as equações, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação
e precisa descobrir qual é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Esse tipo de problema faz parte de cálculo, especificamente de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e lembrar como derivar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente. Começando com
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
, então:
Passo 5
Voltando à derivada de
:
Agora, derivamos
. A derivada de
é
. Aqui,
, então:
Passo 6
Derivando o lado direito
:
Passo 7
Agora, reunimos todas as derivadas na equação:
Passo 8
Vamos distribuir a
:
Passo 9
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 10
Isolamos
:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
: