Dadas as expressões de duas tensões \mathrm{v}_{1}=10 . \operatorname{sen}(\omega t+ \frac{\pi}{4} (v) e \quad v_{2}=10 \cdot \operatorname{sen}(\omega t+\pi) (v) pede-se:
v_{1}-v_{2}

Passo 1

O enunciado dá duas tensões em função do tempo e pede a diferença v_{1}-v_{2}. As informações fornecidas são:
  • v_{1}(t)=10\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\bigr) (V).
  • v_{2}(t)=10\sin\!\bigl(\omega t+\pi\bigr) (V).
O objetivo é obter uma expressão simplificada para
v_{1}(t)-v_{2}(t).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil para diferenças de senos. A identidade soma‑para‑produto diz que, para quaisquer ângulos A e B,
\sin A - \sin B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr).
Explicando: essa fórmula transforma a diferença de duas funções seno em um produto de cosseno por seno. É uma ferramenta boa para reduzir duas oscilações com o mesmo argumento em uma única forma mais fácil de manipular.
Aplicaremos essa identidade com
A=\omega t+\tfrac{\pi}{4},\qquad B=\omega t+\pi.

Passo 3

Calculo das quantidades necessárias da identidade:
\tfrac{A+B}{2}=\tfrac{(\omega t+\tfrac{\pi}{4})+(\omega t+\pi)}{2}=\omega t+\tfrac{5\pi}{8},
\tfrac{A-B}{2}=\tfrac{(\omega t+\tfrac{\pi}{4})-(\omega t+\pi)}{2}=\tfrac{\pi/4-\pi}{2}=\tfrac{-3\pi}{8}.
Agora aplico a identidade:
\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\sin\!\bigl(\omega t+\pi\bigr) =2\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr)\sin\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{8}\bigr).
Como \sin(-\theta)=-\sin\theta, isso vira
= -2\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr).
Multiplicando pelo fator 10 (presente em v_1 e v_2):
v_{1}-v_{2}=10\bigl(\sin(\omega t+\tfrac{\pi}{4})-\sin(\omega t+\pi)\bigr) =-20\,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr).

Passo 4

Agora precisamos de \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr) em forma exata. Use a relação com ângulos notáveis: \tfrac{3\pi}{8}=67{,}5^\circ e nota-se que
\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr).
E \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) pode ser obtida pela fórmula do cosseno de meia‑ângulo a partir de \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\sqrt{\tfrac{1+\cos(\tfrac{\pi}{4})}{2}} =\sqrt{\tfrac{1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Portanto
\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Substituindo em v_{1}-v_{2}:
v_{1}-v_{2}=-20\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr) =-10\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr).

Passo 5

É comum expressar o resultado como um único seno (positiva a amplitude e com uma fase adequada). Use que \cos x=\sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr) e que um sinal negativo introduz um deslocamento de \pi:
-\,\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\bigr) =\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}+\pi\bigr) =\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{13\pi}{8}\bigr).
Transformando em seno:
\cos\!\bigl(\omega t+\tfrac{13\pi}{8}\bigr)=\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{13\pi}{8}+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{17\pi}{8}\bigr).
Como \tfrac{17\pi}{8}=\tfrac{\pi}{8}+2\pi, reduzimos o ângulo módulo 2\pi e obtemos
v_{1}-v_{2}=10\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{8}\bigr).
Podemos checar rapidamente em t tal que \omega t=0: então v_{1}-v_{2}=10\sin(\tfrac{\pi}{4})-10\sin(\pi)=10\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}-0\approx7{,}071 V; a expressão final dá 10\sqrt{2+\sqrt{2}}\sin(\tfrac{\pi}{8}) que também vale aproximadamente 7{,}071 V, confirmando consistência.

Resposta

v_{1}-v_{2}=10\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{8}\bigr) (V)

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