Dadas as expressões de duas tensões \mathrm{v}_{1}=10 . \operatorname{sen}(\omega t+ \frac{\pi}{4} (v) e \quad v_{2}=10 \cdot \operatorname{sen}(\omega t+\pi) (v) pede-se:
v_{1}+v_{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dadas duas tensões senoidais de mesma frequência:
    • \mathrm{v}_1 = 10 \cdot \operatorname{sen}\!\big(\omega t + \tfrac{\pi}{4}\big) (V).
    • \mathrm{v}_2 = 10 \cdot \operatorname{sen}\!\big(\omega t + \pi\big) (V).
  • O que se pede: calcular \mathrm{v}_1 + \mathrm{v}_2 como uma única senóide (ou forma equivalente).

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vamos usar (explicada didaticamente).
  • Quando somamos duas senóides de mesma frequência podemos usar a identidade soma‑para‑produto: \operatorname{sen}(\alpha)+\operatorname{sen}(\beta)=2\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\alpha+\beta}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{\alpha-\beta}{2}\Big).
  • O que essa fórmula diz, em palavras simples:
    • Em vez de somar duas senóides separadas, podemos escrever a soma como uma única senóide com argumento no meio dos dois argumentos originais (essa é a parte \operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\big)) multiplicada por um fator de ganho dado pelo cosseno da metade da diferença ( \cos\!\big(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\big)).
  • Por que essa fórmula é válida (curta derivação): usando as fórmulas de adição para seno, \operatorname{sen}\big(u\pm v\big)=\operatorname{sen}u\cos v\pm\cos u\operatorname{sen}v,toma-se u=\tfrac{\alpha+\beta}{2} e v=\tfrac{\alpha-\beta}{2} e somam-se as expressões para \operatorname{sen}(u+v) e \operatorname{sen}(u-v) para chegar na identidade acima.
  • Exemplo rápido para fixar a ideia (mini-exemplo): se \alpha=\omega t e \beta=\omega t+\pi, então a média \tfrac{\alpha+\beta}{2}=\omega t+\tfrac{\pi}{2} e a meia-diferença \tfrac{\alpha-\beta}{2}=-\tfrac{\pi}{2}. A fórmula transforma a soma em 2\operatorname{sen}(\omega t+\tfrac{\pi}{2})\cos(-\tfrac{\pi}{2}) — neste caso específico o cosseno dá zero e a soma é zero (apenas como ilustração de uso).
  • Aplicaremos a identidade com \alpha=\omega t+\tfrac{\pi}{4} e \beta=\omega t+\pi.

Passo 3

Aplicação direta da identidade ao problema.
  • Primeiro calculemos os meios: \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\big(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\big)+\big(\omega t+\pi\big)}{2}=\omega t+\frac{5\pi}{8},
\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\big(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\big)-\big(\omega t+\pi\big)}{2}=\frac{\pi/4-\pi}{2}=-\frac{3\pi}{8}.
  • Aplicando a identidade: \operatorname{sen}\!\big(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\big)+\operatorname{sen}\!\big(\omega t+\pi\big) =2\operatorname{sen}\!\Big(\omega t+\frac{5\pi}{8}\Big)\cos\!\Big(-\frac{3\pi}{8}\Big).
  • Use que \cos(-x)=\cos x, então \operatorname{sen}\!\big(\omega t+\tfrac{\pi}{4}\big)+\operatorname{sen}\!\big(\omega t+\pi\big) =2\operatorname{sen}\!\Big(\omega t+\frac{5\pi}{8}\Big)\cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big).
  • Multiplicando pelos 10 das amplitudes originais: \mathrm{v}_1+\mathrm{v}_2 = 10\cdot 2\cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big)\operatorname{sen}\!\Big(\omega t+\frac{5\pi}{8}\Big).Ou seja, \mathrm{v}_1+\mathrm{v}_2 = 20\cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big)\operatorname{sen}\!\Big(\omega t+\frac{5\pi}{8}\Big).

Passo 4

Simplificar o ganho (dar a forma exata do amplitude) e interpretar a fase.
  • Vamos achar uma forma exata de \cos\!\big(\tfrac{3\pi}{8}\big) usando a fórmula do semângulo: \cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big)=\sqrt{\frac{1+\cos\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)}{2}}.Sabendo que \cos\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos \cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big)=\sqrt{\frac{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Substituindo em 20\cos\!\big(\tfrac{3\pi}{8}\big): 20\cos\!\Big(\frac{3\pi}{8}\Big)=20\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=10\sqrt{2-\sqrt{2}}.
  • Portanto a amplitude resultante é \;10\sqrt{2-\sqrt{2}}\; e a fase da senóide resultante é \tfrac{5\pi}{8} (ou 112{,}5^\circ).
  • Como check numérico rápido: \;10\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 7{,}654, então a soma é uma senóide de amplitude aproximadamente 7{,}654 V e fase \tfrac{5\pi}{8}.

Resposta

\mathrm{v}_1+\mathrm{v}_2=10\sqrt{2-\sqrt{2}}\;\operatorname{sen}\!\Big(\omega t+\tfrac{5\pi}{8}\Big)\\ \text{(V)}

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