Dadas as expressões para o potencial vetor magnético abaixo, em coordenadas cilíndricas ( s, \varphi, z ), calcule o campo magnético (\vec{B}), a densidade de corrente (\vec{J}) e o potencial escalar magnético \left(\varphi^{*}\right).
\vec{A}(s)=-\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3} \ln \left(\frac{s}{a}\right) \hat{z} \quad s>a \quad e \quad \vec{A}(s)=-\frac{\mu_{0} J_{0} s^{3}}{9} \hat{z} \quad s<a

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z), que é puramente na direção \hat z e depende só de s. As expressões fornecidas são:
\vec{A}(s)= -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right)\hat z,\quad s>a,
\vec{A}(s)= -\frac{\mu_{0} J_{0} s^{3}}{9}\hat z,\quad s<a.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o campo magnético \vec{B}.
  • Calcular a densidade de corrente \vec{J}.
  • Calcular o potencial escalar magnético \varphi^{*} (quando for possível).
Vou trabalhar separando as duas regiões s<a e s>a.

Passo 2

Lembra do que significa \vec{B} em termos de \vec{A}: em regime magnetostático
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
Em coordenadas cilíndricas, a componente azimutal da rotação de um campo que tem apenas componente A_z(s) (ou seja, A_s=0,\;A_\varphi=0,\;A_z=A_z(s)) simplifica bastante. A fórmula geral que usaremos (apenas a parte necessária) dá:
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_s}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial s}.
Como A_s=0 e A_z depende só de s, temos
\vec{B}=\nabla\times\vec{A} = -\frac{dA_z}{ds}\,\hat\varphi.
Ou seja: para um potencial vetor na direção \hat z que depende só de s, o campo magnético é puramente azimutal e vale -A_z'(s)\hat\varphi. Vou aplicar isso nas duas regiões.

Passo 3

Calcular dA_z/ds em cada região e obter \vec{B}.
Região s>a:
A_z(s)= -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\ln\!\left(\frac{s}{a}\right).
Derivando:
\frac{dA_z}{ds}= -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\cdot\frac{1}{s}.
Portanto
\vec{B}(s) = -\frac{dA_z}{ds}\,\hat\varphi = -\left(-\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3s}\right)\hat\varphi = \frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3s}\,\hat\varphi,\quad s>a.
Região s<a:
A_z(s)= -\frac{\mu_{0} J_{0} s^{3}}{9}.
Derivando:
\frac{dA_z}{ds}= -\frac{\mu_{0} J_{0}}{9}\cdot 3s^{2} = -\frac{\mu_{0} J_{0} s^{2}}{3}.
Portanto
\vec{B}(s) = -\frac{dA_z}{ds}\,\hat\varphi = -\left(-\frac{\mu_{0} J_{0} s^{2}}{3}\right)\hat\varphi = \frac{\mu_{0} J_{0} s^{2}}{3}\,\hat\varphi,\quad s<a.
Breve intuição: dentro ( s<a) o campo cresce com s^2 (pois a corrente volumétrica acumulada aumenta com s); fora ( s>a) o campo decai como 1/s (campo de corrente total concentrada no interior).

Passo 4

Agora a densidade de corrente \vec{J}. Em magnetostática aplica-se a lei de Ampère no formato diferencial:
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}.
Como \vec{B} tem só componente azimutal dependente só de s, a única componente não-nula de \nabla\times\vec{B} é a componente axial ( z ):
(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{s}\frac{d}{ds}\big(s B_{\varphi}(s)\big).
Logo
J_{z}(s)=\frac{1}{\mu_{0}}\cdot\frac{1}{s}\frac{d}{ds}\big(s B_{\varphi}(s)\big).
Calculemos em cada região.
Para s>a: B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3s}. Então
sB_{\varphi}(s)=\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{ds}\big(sB_{\varphi}\big)=0,
portanto
\vec{J}(s)=\vec{0},\quad s>a.
Para s<a: B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} J_{0} s^{2}}{3}. Então
sB_{\varphi}(s)=\frac{\mu_{0} J_{0} s^{3}}{3},\qquad \frac{d}{ds}\big(sB_{\varphi}\big)=\mu_{0} J_{0} s^{2}.
Logo
J_{z}(s)=\frac{1}{\mu_{0}}\cdot\frac{1}{s}\cdot\mu_{0} J_{0} s^{2} = J_{0} s,
e
\vec{J}(s)=J_{0} s\,\hat z,\quad s<a.
Verificação rápida (consistência com Ampère integral): a corrente total atravessando um disco de raio a é
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{a}J_{z}(s)\,2\pi s\,ds = 2\pi J_{0}\int_{0}^{a}s^{2}ds = \frac{2\pi J_{0} a^{3}}{3}.
Aplicando Ampère circular fora ( s>a): 2\pi s B_{\varphi}(s)=\mu_{0}I_{\text{enc}} leva a B_{\varphi}(s)=\mu_{0}J_{0}a^{3}/(3s), que coincide com o cálculo direto — perfeito.
Observação sobre superfície de corrente: \vec{B} é contínuo em s=a (calcule B_\varphi por ambos os lados e dá \mu_{0}J_{0}a^{2}/3), então não há corrente superficial adicional em s=a.

Passo 5

Potencial escalar magnético \varphi^{*}. Regra prática: em uma região sem correntes e simplesmente conexa onde \nabla\times\vec{B}=0, é possível definir um potencial escalar \varphi^{*} tal que
\vec{B}=-\nabla\varphi^{*}.
  • Para s<a: já vimos que \nabla\times\vec{B}\neq 0 (há corrente volumétrica), então NÃO existe um potencial escalar global \varphi^{*} nessa região.
  • Para s>a: temos \nabla\times\vec{B}=0, então localmente pode-se tentar definir \varphi^{*}. Contudo a região s>a não é simplesmente conexa (circunda a corrente no interior), e existe circulação não-nula de \vec{B} em volta do eixo; isso impede a existência de um \varphi^{*} global simples e monovalorado sem introduzir um ramo (corte). Ainda assim podemos encontrar uma expressão local (aceitando que \varphi^{*} seja multivalorado, i.e. mude ao aumentar \varphi em 2\pi).
Resolver \vec{B}=-\nabla\varphi^{*} para s>a. Escrevendo o gradiente em cilíndricas:
\nabla\varphi^{*}=\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial s}\,\hat s + \frac{1}{s}\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial\varphi}\,\hat\varphi + \frac{\partial\varphi^{*}}{\partial z}\,\hat z.
Como \vec{B}=B_{\varphi}(s)\,\hat\varphi e não há componentes em \hat s,\hat z, as equações são
\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial s}=0,\qquad \frac{\partial\varphi^{*}}{\partial z}=0,\qquad \frac{1}{s}\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial\varphi}=-B_{\varphi}(s).
Da primeira e segunda equações segue que \varphi^{*} depende só de \varphi. Da terceira:
\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial\varphi} = -s B_{\varphi}(s).
Para s>a, substituindo B_{\varphi}(s)=\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3s}
\frac{\partial\varphi^{*}}{\partial\varphi} = -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}.
Integrando em \varphi:
\varphi^{*}(s,\varphi) = -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\,\varphi + C,
onde C é constante (pode depender de escolha de ramo). Observação importante: essa \varphi^{*} depende linearmente de \varphi e, ao aumentar \varphi em 2\pi, muda de valor por
\Delta\varphi^{*} = -\frac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\cdot 2\pi,
ou seja, é multivalorada. Isso é esperado porque há corrente ligada ao interior e \vec{B} tem circulação não-nula; então não existe um potencial escalar global monovalorado exterior sem introduzir um corte. Mas, localmente (em um setor onde \varphi está restringido) a expressão acima vale.

Passo 6

Resumo físico e checagens:
  • \vec{B} é puramente azimutal, contínuo em s=a.
  • \vec{J} é zero fora e axial dentro, com J_z=J_0 s para s<a (correndo ao longo do eixo).
  • Potencial escalar existe localmente fora, mas é multivalorado devido à corrente interna; dentro não existe porque há \nabla\times\vec{B}\neq0.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(s)=\begin{cases}\dfrac{\mu_{0} J_{0} s^{2}}{3}\,\hat\varphi, & s<a,\\[6pt]\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3s}\,\hat\varphi, & s>a,\end{cases}
\displaystyle \vec{J}(s)=\begin{cases}J_{0} s\,\hat z, & s<a,\\[4pt]\vec{0}, & s>a,\end{cases}
\displaystyle \varphi^{*}(s,\varphi)=\begin{cases}\text{não existe (região com corrente, }\nabla\times\vec{B}\neq0\text{)}, & s<a,\\[4pt]-\dfrac{\mu_{0} J_{0} a^{3}}{3}\,\varphi + C\quad(\text{multivalorada; válida localmente}), & s>a.\end{cases}ããá]

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