Dadas as expressões para o potencial vetor magnético abaixo, em coordenadas cilíndricas (
), calcule o campo magnético
, a densidade de corrente
e o potencial escalar magnético
.
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetor em coordenadas cilíndricas
, que é puramente na direção
e depende só de
. As expressões fornecidas são:
O que o enunciado pede:
- Calcular o campo magnético
. - Calcular a densidade de corrente
. - Calcular o potencial escalar magnético
(quando for possível).
Vou trabalhar separando as duas regiões
e
.
Passo 2
Lembra do que significa
em termos de
: em regime magnetostático
Em coordenadas cilíndricas, a componente azimutal da rotação de um campo que tem apenas componente
(ou seja,
) simplifica bastante. A fórmula geral que usaremos (apenas a parte necessária) dá:
Como
e
depende só de
, temos
Ou seja: para um potencial vetor na direção
que depende só de
, o campo magnético é puramente azimutal e vale
. Vou aplicar isso nas duas regiões.
Passo 3
Calcular
em cada região e obter
.
Região
:
Derivando:
Portanto
Região
:
Derivando:
Portanto
Breve intuição: dentro (
) o campo cresce com
(pois a corrente volumétrica acumulada aumenta com
); fora (
) o campo decai como
(campo de corrente total concentrada no interior).
Passo 4
Agora a densidade de corrente
. Em magnetostática aplica-se a lei de Ampère no formato diferencial:
Como
tem só componente azimutal dependente só de
, a única componente não-nula de
é a componente axial (
):
Logo
Calculemos em cada região.
Para
:
. Então
portanto
Para
:
. Então
Logo
e
Verificação rápida (consistência com Ampère integral): a corrente total atravessando um disco de raio
é
Aplicando Ampère circular fora (
):
leva a
, que coincide com o cálculo direto — perfeito.
Observação sobre superfície de corrente:
é contínuo em
(calcule
por ambos os lados e dá
), então não há corrente superficial adicional em
.
Passo 5
Potencial escalar magnético
. Regra prática: em uma região sem correntes e simplesmente conexa onde
, é possível definir um potencial escalar
tal que
- Para
: já vimos que (há corrente volumétrica), então NÃO existe um potencial escalar global nessa região. - Para
: temos , então localmente pode-se tentar definir . Contudo a região não é simplesmente conexa (circunda a corrente no interior), e existe circulação não-nula de em volta do eixo; isso impede a existência de um global simples e monovalorado sem introduzir um ramo (corte). Ainda assim podemos encontrar uma expressão local (aceitando que seja multivalorado, i.e. mude ao aumentar em ).
Resolver
para
. Escrevendo o gradiente em cilíndricas:
Como
e não há componentes em
, as equações são
Da primeira e segunda equações segue que
depende só de
. Da terceira:
Para
, substituindo
dá
Integrando em
:
onde
é constante (pode depender de escolha de ramo). Observação importante: essa
depende linearmente de
e, ao aumentar
em
, muda de valor por
ou seja, é multivalorada. Isso é esperado porque há corrente ligada ao interior e
tem circulação não-nula; então não existe um potencial escalar global monovalorado exterior sem introduzir um corte. Mas, localmente (em um setor onde
está restringido) a expressão acima vale.
Passo 6
Resumo físico e checagens:
-
é puramente azimutal, contínuo em . -
é zero fora e axial dentro, com para (correndo ao longo do eixo). - Potencial escalar existe localmente fora, mas é multivalorado devido à corrente interna; dentro não existe porque há
.