Uma esfera de raio a feita de material dielétrico linear e homogèneo com constante dielétrica \varepsilon_{r} é colocada (no vácuo) em um campo elétrico \vec{E}_{o}=E_{o} \hat{z}. Encontre o valor das constantes \alpha, \beta e \gamma tal que o potencial da esfera dado abaixo, satisfaça as condições de contorno adequadas. Calcule o campo \vec{E} dentro da esfera.
V(r, \theta)= \begin{cases}\alpha E_{o} r \cos \theta & r \leq a \\\ \beta r \cos \theta+\gamma E_{o} \frac{\cos \theta}{r^{2}} & r \geq a\end{cases}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do problema:
    • Esfera de raio a\). - Material dielétrico linear e homogêneo com constante relativa \(\varepsilon_{r}\). - Meio externo é vácuo (constante dielétrica \(\varepsilon_{0}\)). - Campo aplicado uniforme \(\vec{E}_{o}=E_{o}\,\hat{z}\). - O potencial proposto é \[V(r,\theta)= \begin{cases} \alpha E_{o} r \cos\theta, & r \le a,\\[4pt] \beta r\cos\theta + \gamma E_{o}\dfrac{\cos\theta}{r^{2}}, & r \ge a. \end{cases}
  • O que o enunciado pede:
    1. Encontrar as constantes \alpha,\beta,\gamma\] de modo que o potencial satisfaça as condições de contorno físicas. 2. Calcular o campo \(\vec{E} dentro da esfera (ou seja para r\le a).
  • Observações úteis (que vêm do enunciado e serão usadas depois):
    • O campo externo longe da esfera é \vec{E}_{o}=E_{o}\,\hat{z}, cuja potencial de referência é V\to -E_{o}r\cos\theta quando r\to\infty.
    • As incógnitas são \alpha (adim.), \beta (coeficiente que deve combinar com a condição no infinito) e \gamma (tem dimensão de volume, aparece multiplicando E_{o}).]

Passo 2

Quais condições de contorno físicas usar e por quê (aula rápida e intuitiva).
  • Continuidade do potencial: o potencial elétrico V deve ser contínuo na superfície r=a (não há salto de potencial sem superfícies com fontes de tensão fixas).
    V_{\text{in}}(a,\theta)=V_{\text{out}}(a,\theta).
  • Continuidade da componente normal de \vec{D}=\varepsilon\vec{E} na superfície, na ausência de carga livre na interface: \hat{r}\cdot\vec{D}_{\text{in}}=\hat{r}\cdot\vec{D}_{\text{out}} em r=a. Aqui \varepsilon_{\text{in}}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} e \varepsilon_{\text{out}}=\varepsilon_{0}.
    Isto decorre de \nabla\cdot\vec{D}=\rho_{f} e \rho_{f}=0 na superfície.
  • Relação entre potencial e campo: \vec{E}=-\nabla V. Em coordenadas esféricas, para uma dependência \propto r\cos\theta e \propto r^{-2}\cos\theta usaremos as derivadas radiais e angulares adequadas.
Agora vamos aplicar essas condições explicitando as derivadas necessárias.

Passo 3

Calcular as componentes radiais de \vec{E} (pois a condição em \vec{D} envolve E_{r}) a partir de V.
  • Para r\le a:
    V_{\text{in}}(r,\theta)=\alpha E_{o} r\cos\theta.
    Derivando:
    \frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}=\alpha E_{o}\cos\theta.
    Logo a componente radial do campo interno é
    E_{r}^{\text{(in)}}=-\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}=-\alpha E_{o}\cos\theta.
  • Para r\ge a:
    V_{\text{out}}(r,\theta)=\beta r\cos\theta + \gamma E_{o}\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
    Derivando:
    \frac{\partial V_{\text{out}}}{\partial r}=\beta\cos\theta -2\gamma E_{o}\frac{\cos\theta}{r^{3}}.
    Logo a componente radial externa é
    E_{r}^{\text{(out)}}=-\frac{\partial V_{\text{out}}}{\partial r}=-\beta\cos\theta +2\gamma E_{o}\frac{\cos\theta}{r^{3}}.

Passo 4

Impor condições de contorno e obter equações para \alpha,\beta,\gamma.
  • Continuidade do potencial em r=a: V_{\text{in}}(a,\theta)=V_{\text{out}}(a,\theta)
\Rightarrow \alpha E_{o} a\cos\theta = \beta a\cos\theta + \gamma E_{o}\frac{\cos\theta}{a^{2}}.
Cancelando \cos\theta e dividindo por a:
\alpha E_{o} = \beta + \gamma E_{o}\frac{1}{a^{3}}. \tag{1}
  • Continuidade de D_{r}=\varepsilon E_{r} em r=a (sem carga livre):
    \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\,E_{r}^{\text{(in)}}(a,\theta)=\varepsilon_{0}\,E_{r}^{\text{(out)}}(a,\theta).
    Cancelando \varepsilon_{0} e \cos\theta, usando as expressões de E_{r}:
    \varepsilon_{r}(-\alpha E_{o}) = -\beta + 2\gamma E_{o}\frac{1}{a^{3}}.
    Multiplicando por -1:
    \varepsilon_{r}\alpha E_{o} = \beta - 2\gamma E_{o}\frac{1}{a^{3}}. \tag{2}
  • Comportamento à distância ( r\to\infty): o potencial externo deve coincidir com o potencial do campo uniforme aplicado, que é V\to -E_{o}r\cos\theta. Comparando com V_{\text{out}}=\beta r\cos\theta+\cdots obtemos
    \beta = -E_{o}. \tag{3}

Passo 5

Resolver o sistema de equações (1),(2),(3) para \alpha,\beta,\gamma.
  • Usando \beta=-E_{o} em (1):
    \alpha E_{o} = -E_{o} + \gamma E_{o}\frac{1}{a^{3}}.
    Dividindo por E_{o}:
    \alpha = -1 + \frac{\gamma}{a^{3}}. \tag{4}
  • Usando \beta=-E_{o} em (2):
    \varepsilon_{r}\alpha E_{o} = -E_{o} - 2\gamma E_{o}\frac{1}{a^{3}}.
    Dividindo por E_{o}:
    \varepsilon_{r}\alpha = -1 - 2\frac{\gamma}{a^{3}}. \tag{5}
  • Substituir (4) em (5):
    \varepsilon_{r}\!\left(-1+\frac{\gamma}{a^{3}}\right) = -1 - 2\frac{\gamma}{a^{3}}.
    Expandindo e reunindo termos:
    -\varepsilon_{r} + \varepsilon_{r}\frac{\gamma}{a^{3}} = -1 - 2\frac{\gamma}{a^{3}}.
    Passando termos:
    (1-\varepsilon_{r}) + \frac{\gamma}{a^{3}}(\varepsilon_{r}+2)=0.
    Portanto
    \frac{\gamma}{a^{3}}=\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2},
    ou seja
    \gamma = a^{3}\,\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2}.
  • Agora obter \alpha por (4):
    \alpha = -1 + \frac{\gamma}{a^{3}} = -1 + \frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2} = -\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}.
  • E \beta já foi fixado:
    \beta = -E_{o}.

Passo 6

Calcular o campo \vec{E} dentro da esfera explicitamente e interpretar.
  • Potencial interno: V_{\text{in}}(r,\theta)=\alpha E_{o} r\cos\theta = -\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\,E_{o}\,r\cos\theta.
  • Campo interno \vec{E}=-\nabla V_{\text{in}}. Podemos usar a expressão em coordenadas esféricas: para V=\text{(const)}\times r\cos\theta, E_{r}^{\text{(in)}}=-\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}=-\alpha E_{o}\cos\theta, \qquad E_{\theta}^{\text{(in)}}=-\frac{1}{r}\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial\theta}=\alpha E_{o}\sin\theta.Reunindo em vetor, usando que -\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta} = -\hat{z}, \vec{E}_{\text{in}} = \alpha E_{o}\big(-\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta}\big) = -\alpha E_{o}\,\hat{z}.Substituindo \alpha: \vec{E}_{\text{in}} = -\left(-\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\right)E_{o}\,\hat{z} = \frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\,E_{o}\,\hat{z}.
  • Interpretação rápida:
    • O campo dentro é uniforme e aponta na mesma direção do campo aplicado.
    • Limites: se \varepsilon_{r}=1 (mesmo dielétrico do exterior) então \vec{E}_{\text{in}}=E_{o}\hat{z} (faz sentido). Se \varepsilon_{r}\to\infty (limite condutor ideal) \vec{E}_{\text{in}}\to 0.

Resposta

\displaystyle \alpha=-\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}
\displaystyle \beta=-E_{o}
\displaystyle \gamma=a^{3}\,\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}+2}
\displaystyle \vec{E}_{\text{in}}=\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\,E_{o}\,\hat{z}

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