Uma esfera de raio a feita de material dielétrico linear e homogèneo com constante dielétrica \varepsilon_{r} é colocada (no vácuo) em um campo elétrico \vec{E}_{o}=E_{o} \hat{z}. Encontre o valor das constantes \alpha, \beta e \gamma tal que o potencial da esfera dado abaixo, satisfaça as condições de contorno adequadas. Calcule o campo \vec{E} dentro da esfera.
V(r, \theta)= \begin{cases}\alpha E_{o} r \cos \theta & r \leq a \\\ \beta r \cos \theta+\gamma E_{o} \frac{\cos \theta}{r^{2}} & r \geq a\end{cases}
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados do problema:
Esfera de raio a\).
- Material dielétrico linear e homogêneo com constante relativa \(\varepsilon_{r}\).
- Meio externo é vácuo (constante dielétrica \(\varepsilon_{0}\)).
- Campo aplicado uniforme \(\vec{E}_{o}=E_{o}\,\hat{z}\).
- O potencial proposto é
\[V(r,\theta)= \begin{cases} \alpha E_{o} r \cos\theta, & r \le a,\\[4pt] \beta r\cos\theta + \gamma E_{o}\dfrac{\cos\theta}{r^{2}}, & r \ge a. \end{cases}
O que o enunciado pede:
Encontrar as constantes \alpha,\beta,\gamma\] de modo que o potencial satisfaça as condições de contorno físicas.
2. Calcular o campo \(\vec{E} dentro da esfera (ou seja para r\le a).
Observações úteis (que vêm do enunciado e serão usadas depois):
O campo externo longe da esfera é \vec{E}_{o}=E_{o}\,\hat{z}, cuja potencial de referência é V\to -E_{o}r\cos\theta quando r\to\infty.
As incógnitas são \alpha (adim.), \beta (coeficiente que deve combinar com a condição no infinito) e \gamma (tem dimensão de volume, aparece multiplicando E_{o}).]
Passo 2
Quais condições de contorno físicas usar e por quê (aula rápida e intuitiva).
Continuidade do potencial: o potencial elétrico V deve ser contínuo na superfície r=a (não há salto de potencial sem superfícies com fontes de tensão fixas).
V_{\text{in}}(a,\theta)=V_{\text{out}}(a,\theta).
Continuidade da componente normal de \vec{D}=\varepsilon\vec{E} na superfície, na ausência de carga livre na interface: \hat{r}\cdot\vec{D}_{\text{in}}=\hat{r}\cdot\vec{D}_{\text{out}} em r=a. Aqui \varepsilon_{\text{in}}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} e \varepsilon_{\text{out}}=\varepsilon_{0}.
Isto decorre de \nabla\cdot\vec{D}=\rho_{f} e \rho_{f}=0 na superfície.
Relação entre potencial e campo: \vec{E}=-\nabla V. Em coordenadas esféricas, para uma dependência \propto r\cos\theta e \propto r^{-2}\cos\theta usaremos as derivadas radiais e angulares adequadas.
Agora vamos aplicar essas condições explicitando as derivadas necessárias.
Passo 3
Calcular as componentes radiais de \vec{E} (pois a condição em \vec{D} envolve E_{r}) a partir de V.
Comportamento à distância (r\to\infty): o potencial externo deve coincidir com o potencial do campo uniforme aplicado, que é V\to -E_{o}r\cos\theta. Comparando com V_{\text{out}}=\beta r\cos\theta+\cdots obtemos
\beta = -E_{o}. \tag{3}
Passo 5
Resolver o sistema de equações (1),(2),(3) para \alpha,\beta,\gamma.
Campo interno \vec{E}=-\nabla V_{\text{in}}. Podemos usar a expressão em coordenadas esféricas: para V=\text{(const)}\times r\cos\theta,E_{r}^{\text{(in)}}=-\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial r}=-\alpha E_{o}\cos\theta, \qquad E_{\theta}^{\text{(in)}}=-\frac{1}{r}\frac{\partial V_{\text{in}}}{\partial\theta}=\alpha E_{o}\sin\theta.Reunindo em vetor, usando que -\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta} = -\hat{z},\vec{E}_{\text{in}} = \alpha E_{o}\big(-\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta}\big) = -\alpha E_{o}\,\hat{z}.Substituindo \alpha:\vec{E}_{\text{in}} = -\left(-\frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\right)E_{o}\,\hat{z} = \frac{3}{\varepsilon_{r}+2}\,E_{o}\,\hat{z}.
Interpretação rápida:
O campo dentro é uniforme e aponta na mesma direção do campo aplicado.
Limites: se \varepsilon_{r}=1 (mesmo dielétrico do exterior) então \vec{E}_{\text{in}}=E_{o}\hat{z} (faz sentido). Se \varepsilon_{r}\to\infty (limite condutor ideal) \vec{E}_{\text{in}}\to 0.