Duas placas retangulares condutoras paralelas (área A cada) estão separadas pela distância d, e são mantidas numa diferença de potencial constante
. Um material dielétrico de constante dielétrica
(constante), área A, e espessura
é inserido entre as placas. Determine em função de
e h, o campo elétrico (
) no dielétrico e no vácuo entre as placas. Determine também o vetor polarização e as cargas de polarização.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pedidos:
- Determinar o campo elétrico
no dielétrico e no vácuo entre as placas. - Determinar o vetor polarização
. - Determinar as cargas de polarização (densidades de carga ligada e carga ligada total).
- Determinar o campo elétrico
-
Dados (pegue estes símbolos como dados num problema de prova):
- Duas placas planas paralelas, separação
. - Diferença de potencial mantida entre as placas:
. - Área de cada placa:
(não entra nas intensidades de campo, mas serve para cargas totais). - Um bloco dielétrico de constante dielétrica (relativa)
, área (coincide com as placas), espessura com , inserido entre as placas (de forma que exista também uma região de vácuo de espessura ). - Constante dielétrica do vácuo:
.
- Duas placas planas paralelas, separação
Observação importante (assunção usada no problema): por simetria plana e o fato de as faces do dielétrico serem planas e paralelas às placas do capacitor, os campos em cada região são uniformes e dirigidos perpendicularmente às placas. Não foi pedido onde o dielétrico fica exatamente entre as placas; o resultado para os campos depende apenas de
e
, não da posição lateral, desde que o dielétrico não toque as bordas.
Passo 2
Escolha do método e ideias-chave (explicação didática).
- Por simetria as linhas de campo são retas, perpendiculares às placas, e
é uniforme dentro de cada camada (vácuo e dielétrico). Isso torna o problema unidimensional (variando só na direção normal às placas). - Em presença de dielétrico linear isotrópico usamos o campo deslocamento elétrico
, que satisfaz a lei de Gauss para carga livre: Para uma superfície plana entre placas sem carga livre no interior, é constante entre as placas e sua componente normal tem magnitude igual à densidade de carga livre na superfície condutora que cria o campo: - Relações constitutivas (dielétrico linear e vácuo):
Essas relações dizem que a mesma
atravessa as camadas (não há carga livre entre elas), mas
é diferente em cada região porque a permittividade muda.
- A diferença de potencial entre as placas é a integral do campo ao longo do caminho normal, que aqui se escreve simplesmente como soma das contribuições de cada camada:
Vou usar essas ideias para achar
(ou
) e daí
em cada região, depois
e as cargas ligadas.
Passo 3
Expressar
em função de
,
,
e
.
- Denotar a direção normal das placas por
, apontando da placa positiva para a placa negativa. Então e estarão na direção . - Como não há carga livre no interior entre placas além das superfícies metálicas,
tem a mesma componente normal em toda a região entre placas. Denotar a magnitude dessa componente, de modo que e a densidade de carga livre nas placas é . - Relações entre
e em cada região: - A diferença de potencial é
- Fatorando
: - Isolando
:
Passo 4
Calcular
em cada região (expressões finais).
- Usando
, obtemos Observação: esta é a intensidade do campo na região de vácuo (espessura ). - Usando
, obtemos que equivale também a .
Dica de prova/cheat-sheet: é mais simples lembrar que a queda de potencial total é soma das quedas nas camadas, e como o dielétrico “reduz” o campo por um fator
comparado ao vácuo, a espessura efetiva do dielétrico para o cálculo de
é
. Assim a capacitância efetiva aumenta como se a distância fosse
.
Passo 5
Densidade de carga livre e cargas totais (cheque útil).
- A densidade de carga livre na placa (magnitude) é
Vetorialmente sobre a placa positiva (sinal positivo) e sobre a placa negativa. - A carga livre total em cada placa é
Passo 6
Vetor polarização
.
- Para um dielétrico linear isotrópico, a polarização relaciona-se ao campo interno por
onde é a susceptibilidade elétrica. Portanto - Substituindo
achado no Passo 4: Direção: mesma direção de , ou seja, de (do polo positivo para o negativo).
Passo 7
Cargas de polarização (ligadas): densidades de superfície e densidade volumétrica.
-
Fórmulas gerais:onde
é o vetor normal externo à superfície do dielétrico. -
Aqui
é uniforme dentro do bloco dielétrico (campo e materiais homogêneos), logo -
As superfícies relevantes são as duas faces planas do dielétrico (cada uma de área
). A magnitude da densidade de carga ligada sobre cada face é Substituindo : -
Sinais (explicação intuitiva e como lembrar na prova):
- Tome
apontando do lado da placa positiva para a negativa. Como aponta em , a densidade de carga ligada numa face é . - Para a face do dielétrico mais próxima da placa positiva, o normal externo à superfície do dielétrico aponta em
, portanto - Para a face do dielétrico do lado da placa negativa, o normal externo aponta em
, portanto - Ou seja: face voltada para a placa positiva fica carregada negativamente (carga ligada negativa); a face voltada para a placa negativa fica carregada positivamente. A soma das cargas ligadas das duas faces é zero (carga ligada total do bloco é nula).
- Tome
-
Cargas ligadas totais em cada face (valores absolutos):
Passo 8
Resumo rápido de verificação e interpretação física (para lembrar na prova).
- Se
(sem dielétrico), as fórmulas reduzem a como esperado. - O dielétrico reduz o campo dentro dele por um fator
em relação ao campo que haveria no vácuo; por isso a queda de potencial efetiva dentro do dielétrico é . - A presença do dielétrico cria cargas ligadas nas faces do bloco que parcialmente compensam a carga livre das placas, reduzindo o campo interno do dielétrico.
Resposta
(negativa na face voltada para a placa positiva; positiva na face voltada para a placa negativa)