Duas placas retangulares condutoras paralelas (área A cada) estão separadas pela distância d, e são mantidas numa diferença de potencial constante \mathbf{V}. Um material dielétrico de constante dielétrica \varepsilon_{r} (constante), área A, e espessura \boldsymbol{h}(h<d) é inserido entre as placas. Determine em função de \mathrm{d}, \mathrm{V}, \varepsilon_{r} e h, o campo elétrico ( \vec{E} ) no dielétrico e no vácuo entre as placas. Determine também o vetor polarização e as cargas de polarização.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedidos:
    • Determinar o campo elétrico \vec{E} no dielétrico e no vácuo entre as placas.
    • Determinar o vetor polarização \vec{P}.
    • Determinar as cargas de polarização (densidades de carga ligada e carga ligada total).
  • Dados (pegue estes símbolos como dados num problema de prova):
    • Duas placas planas paralelas, separação \;d\;.
    • Diferença de potencial mantida entre as placas: \;V\;.
    • Área de cada placa: \;A\; (não entra nas intensidades de campo, mas serve para cargas totais).
    • Um bloco dielétrico de constante dielétrica (relativa) \;\varepsilon_{r}\;, área A (coincide com as placas), espessura \;h\; com \;h<d\;, inserido entre as placas (de forma que exista também uma região de vácuo de espessura \;d-h\;).
    • Constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_{0}.
Observação importante (assunção usada no problema): por simetria plana e o fato de as faces do dielétrico serem planas e paralelas às placas do capacitor, os campos em cada região são uniformes e dirigidos perpendicularmente às placas. Não foi pedido onde o dielétrico fica exatamente entre as placas; o resultado para os campos depende apenas de h e d, não da posição lateral, desde que o dielétrico não toque as bordas.

Passo 2

Escolha do método e ideias-chave (explicação didática).
  • Por simetria as linhas de campo são retas, perpendiculares às placas, e \vec{E} é uniforme dentro de cada camada (vácuo e dielétrico). Isso torna o problema unidimensional (variando só na direção normal às placas).
  • Em presença de dielétrico linear isotrópico usamos o campo deslocamento elétrico \vec{D}, que satisfaz a lei de Gauss para carga livre: \nabla\cdot\vec{D}=\rho_{\text{livre}}.Para uma superfície plana entre placas sem carga livre no interior, \vec{D} é constante entre as placas e sua componente normal tem magnitude igual à densidade de carga livre na superfície condutora que cria o campo: D = \sigma_{\text{livre}}.
  • Relações constitutivas (dielétrico linear e vácuo): \vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}\quad\text{(vácuo)},á
\vec{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\vec{E}\quad\text{(dielétrico)}.é
Essas relações dizem que a mesma \vec{D} atravessa as camadas (não há carga livre entre elas), mas \vec{E} é diferente em cada região porque a permittividade muda.
  • A diferença de potencial entre as placas é a integral do campo ao longo do caminho normal, que aqui se escreve simplesmente como soma das contribuições de cada camada: V = E_{\text{diel}}\,h + E_{\text{vac}}(d-h).
Vou usar essas ideias para achar \vec{D} (ou \sigma_{\text{livre}}) e daí \vec{E} em cada região, depois \vec{P} e as cargas ligadas.

Passo 3

Expressar \vec{D} em função de V, d, h e \varepsilon_{r}.
  • Denotar a direção normal das placas por \hat{z}, apontando da placa positiva para a placa negativa. Então \vec{E} e \vec{D} estarão na direção \hat{z}.
  • Como não há carga livre no interior entre placas além das superfícies metálicas, \vec{D} tem a mesma componente normal em toda a região entre placas. Denotar D a magnitude dessa componente, de modo que \vec{D}=D\,\hat{z} e a densidade de carga livre nas placas é \sigma_{\text{livre}}=D.
  • Relações entre D e E em cada região: E_{\text{vac}}=\frac{D}{\varepsilon_{0}}, \qquad E_{\text{diel}}=\frac{D}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}.
  • A diferença de potencial é V = E_{\text{diel}}\,h + E_{\text{vac}}(d-h) = \frac{D}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\,h + \frac{D}{\varepsilon_{0}}(d-h).
  • Fatorando D/\varepsilon_{0}: V = \frac{D}{\varepsilon_{0}}\Bigl((d-h)+\frac{h}{\varepsilon_{r}}\Bigr).
  • Isolando D: D=\varepsilon_{0}\,V\Big/\Bigl((d-h)+\frac{h}{\varepsilon_{r}}\Bigr).

Passo 4

Calcular \vec{E} em cada região (expressões finais).
  • Usando \;E_{\text{vac}}=D/\varepsilon_{0}\;, obtemos \vec{E}_{\text{vac}} = \frac{D}{\varepsilon_{0}}\,\hat{z} = \frac{V}{\displaystyle (d-h)+\frac{h}{\varepsilon_{r}}}\,\hat{z}.Observação: esta é a intensidade do campo na região de vácuo (espessura d-h).
  • Usando \;E_{\text{diel}}=D/(\varepsilon_{0}\varepsilon_{r})\;, obtemos \vec{E}_{\text{diel}} = \frac{D}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\,\hat{z} = \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\,\hat{z},que equivale também a \vec{E}_{\text{diel}}=\vec{E}_{\text{vac}}/\varepsilon_{r}.
Dica de prova/cheat-sheet: é mais simples lembrar que a queda de potencial total é soma das quedas nas camadas, e como o dielétrico “reduz” o campo por um fator \varepsilon_{r} comparado ao vácuo, a espessura efetiva do dielétrico para o cálculo de V é h/\varepsilon_{r}. Assim a capacitância efetiva aumenta como se a distância fosse d_{\text{efetivo}}=(d-h)+h/\varepsilon_{r}.

Passo 5

Densidade de carga livre e cargas totais (cheque útil).
  • A densidade de carga livre na placa (magnitude) é \sigma_{\text{livre}}=D =\varepsilon_{0}\,V\Big/\Bigl((d-h)+\frac{h}{\varepsilon_{r}}\Bigr).Vetorialmente \vec{\sigma}_{\text{livre}}= \sigma_{\text{livre}}\,\hat{z} sobre a placa positiva (sinal positivo) e -\sigma_{\text{livre}}\,\hat{z} sobre a placa negativa.
  • A carga livre total em cada placa é Q_{\text{livre}}=\sigma_{\text{livre}}\,A.

Passo 6

Vetor polarização \vec{P}.
  • Para um dielétrico linear isotrópico, a polarização relaciona-se ao campo interno por \vec{P}=\varepsilon_{0}\chi_{e}\,\vec{E}_{\text{diel}},onde \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1 é a susceptibilidade elétrica. Portanto \vec{P}=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\,\vec{E}_{\text{diel}}.
  • Substituindo \vec{E}_{\text{diel}} achado no Passo 4: \vec{P} = \varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\,\hat{z}.Direção: mesma direção de \vec{E}, ou seja, de \hat{z} (do polo positivo para o negativo).

Passo 7

Cargas de polarização (ligadas): densidades de superfície e densidade volumétrica.
  • Fórmulas gerais:
    \rho_{\text{ligada}}=-\nabla\cdot\vec{P}, \qquad \sigma_{\text{ligada}}=\vec{P}\cdot\hat{n},
    onde \hat{n} é o vetor normal externo à superfície do dielétrico.
  • Aqui \vec{P} é uniforme dentro do bloco dielétrico (campo e materiais homogêneos), logo
    \rho_{\text{ligada}}=0.
  • As superfícies relevantes são as duas faces planas do dielétrico (cada uma de área A). A magnitude da densidade de carga ligada sobre cada face é
    \bigl|\sigma_{\text{ligada}}\bigr|=|\vec{P}| =\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\,E_{\text{diel}}.
    Substituindo E_{\text{diel}}:
    \bigl|\sigma_{\text{ligada}}\bigr| =\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}.
  • Sinais (explicação intuitiva e como lembrar na prova):
    • Tome \hat{z} apontando do lado da placa positiva para a negativa. Como \vec{P} aponta em \hat{z}, a densidade de carga ligada numa face é \sigma_{\text{ligada}}=\vec{P}\cdot\hat{n}.
    • Para a face do dielétrico mais próxima da placa positiva, o normal externo à superfície do dielétrico aponta em -\hat{z}, portanto \sigma_{\text{ligada,\,esquerda}}=\vec{P}\cdot(-\hat{z})=-|\vec{P}| \quad(\text{negativa}).
    • Para a face do dielétrico do lado da placa negativa, o normal externo aponta em +\hat{z}, portanto \sigma_{\text{ligada,\,direita}}=\vec{P}\cdot\hat{z}=+|\vec{P}| \quad(\text{positiva}).
    • Ou seja: face voltada para a placa positiva fica carregada negativamente (carga ligada negativa); a face voltada para a placa negativa fica carregada positivamente. A soma das cargas ligadas das duas faces é zero (carga ligada total do bloco é nula).
  • Cargas ligadas totais em cada face (valores absolutos):
    Q_{\text{ligada, face}}=\sigma_{\text{ligada}}\,A =\pm \varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\;A.

Passo 8

Resumo rápido de verificação e interpretação física (para lembrar na prova).
  • Se \varepsilon_{r}=1 (sem dielétrico), as fórmulas reduzem a \vec{E}=V/d\,\hat{z} como esperado.
  • O dielétrico reduz o campo dentro dele por um fator \varepsilon_{r} em relação ao campo que haveria no vácuo; por isso a queda de potencial efetiva dentro do dielétrico é h/\varepsilon_{r}.
  • A presença do dielétrico cria cargas ligadas nas faces do bloco que parcialmente compensam a carga livre das placas, reduzindo o campo interno do dielétrico.

Resposta

\displaystyle \vec{E}_{\text{vac}}=\frac{V}{\displaystyle (d-h)+\dfrac{h}{\varepsilon_{r}}}\,\hat{z}
\displaystyle \vec{E}_{\text{diel}}=\frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\,\hat{z}=\frac{1}{\varepsilon_{r}}\vec{E}_{\text{vac}}
\displaystyle \vec{P}=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\,\vec{E}_{\text{diel}} =\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\,\hat{z}
\displaystyle \rho_{\text{ligada}}=0
\displaystyle \sigma_{\text{ligada,\,faces}}=\pm\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}
(negativa na face voltada para a placa positiva; positiva na face voltada para a placa negativa)
\displaystyle \sigma_{\text{livre}}=D=\varepsilon_{0}\,V\Big/\Bigl((d-h)+\dfrac{h}{\varepsilon_{r}}\Bigr)
\displaystyle Q_{\text{ligada, face}}=\pm\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\, \frac{V}{\displaystyle \varepsilon_{r}(d-h)+h}\;A
\displaystyle Q_{\text{livre}}=\varepsilon_{0}\,V\Big/\Bigl((d-h)+\dfrac{h}{\varepsilon_{r}}\Bigr)\;A

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