Dadas f, g: X \rightarrow \mathbb{R}, definamos as funções f \vee g: X \rightarrow \mathbb{R} e f \wedge g: X \rightarrow \mathbb{R} pondo, para cada x \in X, \quad(f \vee g)(x)= \max \{f(x), g(x)\} e (f \wedge g)(x)=\min \{f(x), g(x)\}. Mostre que se f e g são contínuas num ponto a \in X o mesmo se dá com \mathrm{f} \vee g e \mathrm{f} \wedge \mathrm{g}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dadas as funções f,g: X\to\mathbb{R}.
Sabe-se que f e g são contínuas em um ponto fixo a\in X.
O que se pede: mostrar que as funções f\vee g e f\wedge g também são contínuas em a.
Passo 2
Lembrete da definição de continuidade num ponto e fatos básicos que vou usar (devagar, sem atropelar).
Definição: dizer que uma função h:X\to\mathbb{R} é contínua em a significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e |x-a|<\delta (ou, mais geralmente, d(x,a)<\delta se X tiver métrica), tem-se |h(x)-h(a)|<\varepsilon. Aqui vou trabalhar com a ideia usual de \varepsilon-\delta.
Fatos básicos que usarei (são coisas que normalmente já se sabe e que explicarei rapidamente): se u,v são funções contínuas em a, então u+v, u-v e c\cdot u (para constante c) são contínuas em a. Também a função valor absoluto |\cdot|:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo ponto; explico por quê no passo seguinte. Esses fatos permitem construir contínuas por soma/composição.
Passo 3
Provar que o valor absoluto é contínuo (mini-aula).
Quero mostrar que a função |\cdot|:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em qualquer ponto t_0. Pegue \varepsilon>0. Pela desigualdade triangular há
\big||t|-|t_0|\big|\le |t-t_0|.
Isso significa que se |t-t_0|<\varepsilon então \big||t|-|t_0|\big|<\varepsilon. Logo basta escolher \delta=\varepsilon para a definição de continuidade; portanto |\cdot| é contínua em t_0.
Consequência prática: se h é contínua em a, então x\mapsto |h(x)| é contínua em a (composição de funções contínuas).
Passo 4
Escrever \max e \min em termos de soma e valor absoluto (identidade algébrica) — isso é útil e muito prático na prova.
Para quaisquer reais u,v vale a identidade bem conhecida
\max\{u,v\}=\frac{u+v+|u-v|}{2}.
Prova rápida desta identidade: se u\ge v então |u-v|=u-v e o lado direito fica (u+v+u-v)/2=u; se u<v então |u-v|=v-u e o lado direito fica v. Portanto a fórmula dá sempre o máximo.
Analogamente
\min\{u,v\}=\frac{u+v-|u-v|}{2},
porque \min\{u,v\}=(u+v)-\max\{u,v\} e substitui-se a expressão anterior. Essas fórmulas reduzem max/min a operações de soma e valor absoluto.
Passo 5
Aplicar essas fórmulas às funções f e g e usar estabilidade da continuidade por soma/composição.
Considere a função h:=f-g. Como f e g são contínuas em a, tem-se que h é contínua em a (diferença de contínuas).
Pelo passo anterior, a função x\mapsto |h(x)|=|f(x)-g(x)| é contínua em a (composição com o valor absoluto, que é contínuo).
A soma f+g é contínua em a. Portanto a função
f\vee g=\frac{f+g+|f-g|}{2}
é soma de funções contínuas e multiplicada por 1/2, logo é contínua em a. (Detalhe: soma e multiplicação por constante preservam continuidade.)
Passo 6
Conclusão para f\wedge g (mínimo).
Usando a segunda fórmula, temos
f\wedge g=\frac{f+g-|f-g|}{2}.
Pelas mesmas razões do passo anterior (soma, valor absoluto, multiplicação por constante), a função do lado direito é contínua em a. Logo f\wedge g é contínua em a.
Alternativa rápida (sem repetir os detalhes): também se pode usar f\wedge g = -\big((-f)\vee(-g)\big) e aplicar o caso do máximo às funções -f,-g.
Passo 7
Empurrando um pouco mais de intuição (opcional, para a prova oral).
A ideia intuitiva: perto de a as duas funções f e g não mudam muito (porque são contínuas). Assim o máximo (ou o mínimo) entre as duas também não muda muito — formalizado pelas fórmulas acima que expressam max/min como combinações de soma e valor absoluto, todas operações contínuas.
Se preferir um argumento direto \varepsilon-\delta sem usar a fórmula, dá para mostrar a desigualdade
e daí concluir imediatamente a continuidade escolhendo \delta que faça ambos os termos menores que \varepsilon. A prova dessa desigualdade é feita por análise de casos (qual das funções dá o máximo em x e em a), é direta mas um pouco mais verbosa.
Resposta
As funções f\vee g e f\wedge g são contínuas em a.