Sejam
contínuas. Se
, então é contínua a função
, definida por
se
, e
se
.
É também contínua a função
, definida por
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
- São dadas e pede-se mostrar que .
- Define-se
por e pede-se mostrar que é contínua em .
Resumo das informações relevantes:
-
e são contínuas em todo (portanto em todos os pontos interiores e nas extremidades, sendo que nas extremidades a continuidade é entendida como continuidade unilaterais adequadas ao domínio). - A igualdade de valores na junção:
. - As funções internas
, e são transformações lineares simples a serem compostas com e .]
Passo 2
Fatos e ferramentas que vou usar (com explicação didática):
- Composição de funções contínuas é contínua. Mais precisamente: se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . Intuição: pequenas variações em produzem pequenas variações em , e pequenas variações em produzem pequenas variações em . - Prova curta por
- : dado , como é contínua em existe tal que . Como é contínua em , existe tal que . Tomando obtém-se .
- Prova curta por
- As funções lineares
, e são contínuas em todo (são polinômios de grau 1). - Continuidade em intervalos compostos: se uma função é contínua em cada ramo aberto e as duas extensões coincidem no ponto de junção (limite lateral à esquerda = limite lateral à direita = valor no ponto), então a função é contínua naquele ponto. Ou seja, para pontos que dividem o domínio em pedaços, basta verificar continuidade em cada ramo e compatibilidade na junção.
Passo 3
Continuidade de
nos pontos interiores de cada ramo
e
:
-
Seja
. Então em um pequeno entorno de temos sempre . Escrevendo com , vemos que é contínua em e é contínua em . Pela propriedade da composição, é contínua em . -
Seja
. De modo análogo, em um pequeno entorno de temos . Escrevendo com , é contínua em e é contínua em . Logo é contínua em .
Conclusão parcial:
é contínua em todo ponto interior de cada ramo, isto é em
.
Passo 4
Continuidade de
nas extremidades
e
:
-
Em
: por definição . Para mostrar continuidade em use composition-εδ ou o argumento direto: dado , como é contínua em existe tal que . Tome . Se e , então , logo Assimé contínua em . -
Em
: por definição (pois e ). Dado , como é contínua em existe tal que . Tome . Se então , então Logoé contínua em .
Passo 5
Continuidade de
no ponto de junção
:
-
Primeiro calcule os valores dos dois ramos em
: porqueé contínua em e . porqueé contínua em e . -
Pelo enunciado
. Portanto as duas limites laterais coincidem e valem . Além disso, o valor definido de em (pelo enunciado) é (ou também; ambas dão o mesmo número). Assim limite lateral esquerdo = limite lateral direito = valor no ponto, o que garante continuidade em . -
Para ser completamente formal com
- : dado , escolha tal que (continuidade de em ), e escolha tal que . Tome . Se e então e . Se e então e . Assim é contínua em .
Passo 6
Conclusão sobre
:
- Reunindo Passos 3, 4 e 5,
é contínua em todos os pontos de : nos interiores de cada ramo, nas extremidades e no ponto de junção . Portanto é contínua em .
Passo 7
Continuidade de
:
-
Escreve-se
com . A função é contínua em todo (é linear). Como é contínua em todo , a composição é contínua em todo pela propriedade geral da composição (ver explicação no Passo 2). Logo é contínua em . -
Se quiser uma prova
- para um ponto fixo : seja e tome . Como é contínua em , existe tal que . Note que . Tomando obtemos: se então . Isso mostra continuidade em . Como era arbitrário, é contínua em .