Sejam f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} contínuas. Se f(1)=g(0), então é contínua a função h:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, definida por h(x)=f(2 x) se 0 \leq x \leq 1 / 2, e h(x)=g(2 x-1) se 1 / 2 \leq x \leq 1.
É também contínua a função f^{*}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, definida por f^{*}(x)=f(1-x).

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • São dadas f,g:[0,1]\to\mathbb{R}\) contínuas. - Há a condição \(f(1)=g(0)\). - Define-se \(h:[0,1]\to\mathbb{R}\) por \[h(x)=\begin{cases} f(2x), & 0\le x\le 1/2,\\[4pt] g(2x-1), & 1/2\le x\le 1, \end{cases}e pede-se mostrar que h\] é contínua em \([0,1].
  • Define-se f^{*}:[0,1]\to\mathbb{R} por f^{*}(x)=f(1-x) e pede-se mostrar que f^{*} é contínua em [0,1].
Resumo das informações relevantes:
  • f e g são contínuas em todo [0,1] (portanto em todos os pontos interiores e nas extremidades, sendo que nas extremidades a continuidade é entendida como continuidade unilaterais adequadas ao domínio).
  • A igualdade de valores na junção: f(1)=g(0).
  • As funções internas x\mapsto 2x, x\mapsto 2x-1 e x\mapsto 1-x são transformações lineares simples a serem compostas com f e g.]

Passo 2

Fatos e ferramentas que vou usar (com explicação didática):
  • Composição de funções contínuas é contínua. Mais precisamente: se \varphi é contínua em x_0 e f é contínua em \varphi(x_0), então f\circ\varphi é contínua em x_0. Intuição: pequenas variações em x produzem pequenas variações em \varphi(x), e pequenas variações em \varphi(x) produzem pequenas variações em f.
    • Prova curta por \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, como f é contínua em \varphi(x_0) existe \delta_1>0 tal que |y-\varphi(x_0)|<\delta_1\Rightarrow |f(y)-f(\varphi(x_0))|<\varepsilon. Como \varphi é contínua em x_0, existe \delta_2>0 tal que |x-x_0|<\delta_2\Rightarrow |\varphi(x)-\varphi(x_0)|<\delta_1. Tomando \delta=\delta_2 obtém-se |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(\varphi(x))-f(\varphi(x_0))|<\varepsilon.
  • As funções lineares \varphi(x)=2x, \psi(x)=2x-1 e \tau(x)=1-x são contínuas em todo \mathbb{R} (são polinômios de grau 1).
  • Continuidade em intervalos compostos: se uma função é contínua em cada ramo aberto e as duas extensões coincidem no ponto de junção (limite lateral à esquerda = limite lateral à direita = valor no ponto), então a função é contínua naquele ponto. Ou seja, para pontos que dividem o domínio em pedaços, basta verificar continuidade em cada ramo e compatibilidade na junção.

Passo 3

Continuidade de h nos pontos interiores de cada ramo (0,1/2) e (1/2,1):
  • Seja x_0\in(0,1/2). Então em um pequeno entorno de x_0 temos sempre h(x)=f(2x). Escrevendo h=f\circ\varphi com \varphi(x)=2x, vemos que \varphi é contínua em x_0 e f é contínua em \varphi(x_0)=2x_0. Pela propriedade da composição, h é contínua em x_0.
  • Seja x_0\in(1/2,1). De modo análogo, em um pequeno entorno de x_0 temos h(x)=g(2x-1). Escrevendo h=g\circ\psi com \psi(x)=2x-1, \psi é contínua em x_0 e g é contínua em \psi(x_0)=2x_0-1. Logo h é contínua em x_0.
Conclusão parcial: h é contínua em todo ponto interior de cada ramo, isto é em (0,1/2)\cup(1/2,1).

Passo 4

Continuidade de h nas extremidades x=0 e x=1:
  • Em x=0: por definição h(0)=f(0). Para mostrar continuidade em 0 use composition-εδ ou o argumento direto: dado \varepsilon>0, como f é contínua em 0 existe \delta_1>0 tal que |y-0|<\delta_1\Rightarrow |f(y)-f(0)|<\varepsilon. Tome \delta=\min\{\tfrac{\delta_1}{2},\tfrac{1}{2}\}. Se x\in[0,1] e |x-0|<\delta, então |2x-0|=2|x|<2\delta\le \delta_1, logo
    |h(x)-h(0)|=|f(2x)-f(0)|<\varepsilon.
    Assim h é contínua em 0.
  • Em x=1: por definição h(1)=g(1) (pois 1\ge 1/2 e h(1)=g(2\cdot1-1)=g(1)). Dado \varepsilon>0, como g é contínua em 1 existe \delta_2>0 tal que |y-1|<\delta_2\Rightarrow |g(y)-g(1)|<\varepsilon. Tome \delta=\min\{\tfrac{\delta_2}{2},\tfrac{1}{2}\}. Se |x-1|<\delta então |2x-1-1|=|2x-2|=2|x-1|<2\delta\le\delta_2, então
    |h(x)-h(1)|=|g(2x-1)-g(1)|<\varepsilon.
    Logo h é contínua em 1.

Passo 5

Continuidade de h no ponto de junção x=1/2:
  • Primeiro calcule os valores dos dois ramos em x=1/2:
    \lim_{x\to(1/2)^-} h(x)=\lim_{x\to(1/2)^-} f(2x)=f\bigl(\lim_{x\to(1/2)^-}2x\bigr)=f(1),
    porque f é contínua em 1 e 2x\to 1.
    \lim_{x\to(1/2)^+} h(x)=\lim_{x\to(1/2)^+} g(2x-1)=g\bigl(\lim_{x\to(1/2)^+}(2x-1)\bigr)=g(0),
    porque g é contínua em 0 e 2x-1\to 0.
  • Pelo enunciado f(1)=g(0). Portanto as duas limites laterais coincidem e valem f(1)=g(0). Além disso, o valor definido de h em 1/2 (pelo enunciado) é
    h(1/2)=f(2\cdot\tfrac{1}{2})=f(1)
    (ou também h(1/2)=g(2\cdot\tfrac{1}{2}-1)=g(0); ambas dão o mesmo número). Assim limite lateral esquerdo = limite lateral direito = valor no ponto, o que garante continuidade em x=1/2.
  • Para ser completamente formal com \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta_1>0 tal que |y-1|<\delta_1\Rightarrow |f(y)-f(1)|<\varepsilon (continuidade de f em 1), e escolha \delta_2>0 tal que |y-0|<\delta_2\Rightarrow |g(y)-g(0)|<\varepsilon. Tome \delta=\min\{\tfrac{\delta_1}{2},\tfrac{\delta_2}{2}\}. Se |x-\tfrac{1}{2}|<\delta e x\le\tfrac{1}{2} então |2x-1|<2\delta\le\delta_1 e |h(x)-h(1/2)|=|f(2x)-f(1)|<\varepsilon. Se |x-\tfrac{1}{2}|<\delta e x\ge\tfrac{1}{2} então |2x-1|<2\delta\le\delta_2 e |h(x)-h(1/2)|=|g(2x-1)-g(0)|<\varepsilon. Assim h é contínua em 1/2.

Passo 6

Conclusão sobre h:
  • Reunindo Passos 3, 4 e 5, h é contínua em todos os pontos de [0,1]: nos interiores de cada ramo, nas extremidades 0,1 e no ponto de junção 1/2. Portanto h é contínua em [0,1].

Passo 7

Continuidade de f^{*}(x)=f(1-x):
  • Escreve-se f^{*}=f\circ\tau com \tau(x)=1-x. A função \tau é contínua em todo [0,1] (é linear). Como f é contínua em todo [0,1], a composição f\circ\tau é contínua em todo [0,1] pela propriedade geral da composição (ver explicação no Passo 2). Logo f^{*} é contínua em [0,1].
  • Se quiser uma prova \varepsilon- \delta para um ponto fixo x_0: seja x_0\in[0,1] e tome \varepsilon>0. Como f é contínua em 1-x_0, existe \delta'>0 tal que |y-(1-x_0)|<\delta'\Rightarrow |f(y)-f(1-x_0)|<\varepsilon. Note que |(1-x)-(1-x_0)|=|x-x_0|. Tomando \delta=\delta' obtemos: se |x-x_0|<\delta então |f^{*}(x)-f^{*}(x_0)|=|f(1-x)-f(1-x_0)|<\varepsilon. Isso mostra continuidade em x_0. Como x_0 era arbitrário, f^{*} é contínua em [0,1].

Resposta

h é contínua em [0,1].\n
f^{*} é contínua em [0,1].

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