Esboce os campos de direção das equações abaixo, e trace algumas soluções.
y^{\prime}=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O que a questão pede e o que foi dado.
  • Pede-se: esboçar o campo de direções da equação diferencial e traçar algumas soluções (curvas integrais).
  • A equação dada é \,y' = x^{2} + y^{2}\,.
  • Informação direta que vem do enunciado: para cada ponto (x,y) no plano a inclinação da tangente da solução que passa por esse ponto é exatamente \,x^{2}+y^{2}.

Passo 2

O que é um campo de direções e como usamos a fórmula dada para desenhá-lo.
  • Um campo de direções em cada ponto (x,y) mostra um pequeno segmento (ou seta) cuja inclinação é \dfrac{dy}{dx} naquele ponto; aqui essa inclinação é \,x^{2}+y^{2}.
  • Assim, para desenhar o campo basta, em uma grade de pontos, calcular \,x^{2}+y^{2} em cada ponto e desenhar um pequeno pedaço de reta com essa inclinação.
  • Observação importante: \,x^{2}+y^{2}\ge 0\, para todo (x,y), e só vale zero em (0,0). Logo:
    • Em todo ponto diferente de (0,0) a inclinação é positiva (setas “subindo” quando x aumenta).
    • Em (0,0) a inclinação é 0 (tangente horizontal).
  • Por consequência, as curvas solução são não decrescentes: conforme x aumenta, y nunca diminui (pode ficar constante só localmente em pontos onde a derivada é zero, aqui apenas em (0,0)).

Passo 3

Isoclinas (linhas de mesma inclinação) — pista poderosa para esboçar o campo.
  • Uma isoclina para um valor fixo m\ge 0 satisfaz x^{2}+y^{2}=m.Ou seja: as isoclinas são círculos centrados na origem com raio \sqrt{m}.
  • Interpretação prática: em qualquer ponto sobre um mesmo círculo de raio \sqrt{m} a inclinação do segmento do campo é exatamente m.
  • Exemplos de isoclinas úteis para desenhar: m=0 (raio 0, só a origem), m=1 (raio 1), m=4 (raio 2), m=0{,}25 (raio 0{,}5), etc. Desenhe alguns círculos concêntricos e coloque a mesma inclinação ao longo de cada círculo.

Passo 4

Valores de inclinação em pontos de uma grade (exemplos práticos para desenhar à mão).
  • Calcule e use esses valores para desenhar segmentos:
    • Em (0,0): y'=0^{2}+0^{2}=0 → segmento horizontal.
    • Em (1,0): y'=1^{2}+0^{2}=1 → segmento com inclinação 1 (45º).
    • Em (0,1): y'=0^{2}+1^{2}=1.
    • Em (1,1): y'=1^{2}+1^{2}=2 → segmento mais íngreme.
    • Em (2,0): y'=2^{2}+0^{2}=4 → segmento muito íngreme.
    • Em (-1,1): y'=(-1)^{2}+1^{2}=2 (mesma inclinação que (1,1) porque só aparecem quadrados).
  • Observação prática: quando desenhar, para cada ponto desenhe um pequeno segmento centrado no ponto com a inclinação calculada. Em círculos mais distantes da origem os segmentos ficam cada vez mais íngremes.

Passo 5

Simetrias e comportamento qualitativo do campo — atalhos visuais.
  • A expressão depende de x^{2} e y^{2}, logo o campo é simétrico em relação ao eixo y (simetria x\to -x) e também em relação ao eixo x (simetria y\to -y). O campo é simétrico em ambos e simétrico em relação à origem (no sentido que tem o mesmo padrão nos quadrantes).
  • Como as inclinações crescem com a distância ao centro (raio), as setas formam um padrão de círculos concêntricos com inclinações cada vez maiores ao aumentar o raio.

Passo 6

Comportamento das soluções (curvas integrais) — o que esperar ao traçá-las.
  • Existência e unicidade local: a função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é contínua e localmente Lipschitz em y, então por cada ponto (x_{0},y_{0}) existe uma única solução passando por esse ponto.
  • Monotonicidade: como y'\ge 0 sempre, cada solução é não decrescente; conforme x aumenta, y(x) aumenta ou fica constante somente se tocar (0,0).
  • Comportamento perto da origem: para y pequeno, o termo y^{2} é desprezível frente a x^{2} quando x não é extremamente pequeno; se a condição inicial for y(0)=0 então, para x pequeno, y'(x)\approx x^{2} e integrando obtemos a aproximação y(x)\approx \int_{0}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3}.Logo a solução que passa por (0,0) sai horizontalmente e cresce como \dfrac{x^{3}}{3} para x pequeno.
  • Explosão em tempo finito para condições positivas: se y(x_{0})=y_{0}>0, comparar com a solução da ODE u'=u^{2} com u(x_{0})=y_{0}. Essa solução explícita é u(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{y_{0}}-(x-x_{0})},que diverge (vai para +\infty) quando x\to x_{0}+\dfrac{1}{y_{0}}. Como y' = x^{2}+y^{2}\ge y^{2},um argumento de comparação mostra que a solução y(x) com y(x_{0})=y_{0}>0 também explode (fica infinita) para algum x\le x_{0}+\dfrac{1}{y_{0}}. Portanto, para condições iniciais positivas espera-se que a solução vá verticalizar-se (tenda a infinito) em uma abscissa finita à direita.
  • Para condições iniciais negativas a solução cresce (porque y'\ge 0) e pode se aproximar de zero ou atravessá-lo; o termo x^{2} tende a empurrar a solução para cima conforme |x| cresce.

Passo 7

Como montar o esboço na prova — instrução passo a passo rápida.
  • Desenhe alguns círculos concêntricos centrados na origem (isoclinas) para m=0{,}25,\,1,\,4 (ou similares).
  • Em uma grade de pontos (p.ex. x=-2,-1,0,1,2 e y=-2,-1,0,1,2) calcule \,x^{2}+y^{2} em cada ponto (usar os exemplos do Passo 4) e desenhe segmentos com essa inclinação.
  • Observe que todos os segmentos têm inclinação não negativa; ao conectar segmentos seguindo as setas obtém-se curvas que sobem quando x cresce.
  • Trace algumas curvas integrais passando por pontos escolhidos:
    • Por (0,0): curva suave saindo horizontalmente e aumentando como \dfrac{x^{3}}{3} perto da origem.
    • Por (0,1): curva já com inclinação 1 em x=0, que se torna cada vez mais íngreme e explode para +\infty em x positivo finito (aproximadamente não depois de x=1 pela comparação).
    • Por (0,-1): curva sobe (derivada positiva) e pode atravessar y=0 mais adiante, repetindo o padrão simétrico.
  • Marque nas curvas setas orientando x crescente (para a direita) — todas apontam para cima ou horizontais no máximo em (0,0).

Passo 8

Resumo didático breve (para decorar e usar na prova)
  • Fórmula local do campo: em (x,y) a inclinação é \,x^{2}+y^{2}.
  • Isoclinas: círculos x^{2}+y^{2}=m.
  • Sinais: \,y'\ge 0\, (todas as curvas não decrescem).
  • Origem: única tangente horizontal em (0,0).
  • Condição inicial positiva: tendência a explosão (verticalização) em tempo finito à direita.
  • Técnica prática: desenhar círculos concêntricos e calcular algumas inclinações numa grade para montar o esboço.

Resposta

Campo de direções: em cada ponto (x,y) a inclinação é \,x^{2}+y^{2}. As isoclinas são os círculos \,x^{2}+y^{2}=m (raio \sqrt{m}), a inclinação é sempre não negativa e só é zero em (0,0). O campo é simétrico em relação aos eixos e as setas ficam cada vez mais íngremes ao aumentar a distância à origem.
Soluções (curvas integrais): são não decrescentes; a solução passando por (0,0) tem comportamento inicial aproximado \,y(x)\approx \dfrac{x^{3}}{3}. Para condições iniciais positivas a solução tende a explodir (ir a +\infty) em um x finito à direita (comparação com u'=u^{2}). Para condições iniciais negativas a solução cresce (derivada positiva) podendo atravessar y=0 e seguir o padrão simétrico.

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