Esboce os campos de direção das equações abaixo, e trace algumas soluções.
Passo 1
O que a questão pede e o que foi dado.
- Pede-se: esboçar o campo de direções da equação diferencial e traçar algumas soluções (curvas integrais).
- A equação dada é
. - Informação direta que vem do enunciado: para cada ponto
no plano a inclinação da tangente da solução que passa por esse ponto é exatamente .
Passo 2
O que é um campo de direções e como usamos a fórmula dada para desenhá-lo.
- Um campo de direções em cada ponto
mostra um pequeno segmento (ou seta) cuja inclinação é naquele ponto; aqui essa inclinação é . - Assim, para desenhar o campo basta, em uma grade de pontos, calcular
em cada ponto e desenhar um pequeno pedaço de reta com essa inclinação. - Observação importante:
para todo , e só vale zero em . Logo: - Em todo ponto diferente de
a inclinação é positiva (setas “subindo” quando aumenta). - Em
a inclinação é (tangente horizontal).
- Em todo ponto diferente de
- Por consequência, as curvas solução são não decrescentes: conforme
aumenta, nunca diminui (pode ficar constante só localmente em pontos onde a derivada é zero, aqui apenas em ).
Passo 3
Isoclinas (linhas de mesma inclinação) — pista poderosa para esboçar o campo.
- Uma isoclina para um valor fixo
satisfaz Ou seja: as isoclinas são círculos centrados na origem com raio . - Interpretação prática: em qualquer ponto sobre um mesmo círculo de raio
a inclinação do segmento do campo é exatamente . - Exemplos de isoclinas úteis para desenhar:
(raio , só a origem), (raio ), (raio ), (raio ), etc. Desenhe alguns círculos concêntricos e coloque a mesma inclinação ao longo de cada círculo.
Passo 4
Valores de inclinação em pontos de uma grade (exemplos práticos para desenhar à mão).
- Calcule e use esses valores para desenhar segmentos:
- Em
: → segmento horizontal. - Em
: → segmento com inclinação (45º). - Em
: . - Em
: → segmento mais íngreme. - Em
: → segmento muito íngreme. - Em
: (mesma inclinação que porque só aparecem quadrados).
- Em
- Observação prática: quando desenhar, para cada ponto desenhe um pequeno segmento centrado no ponto com a inclinação calculada. Em círculos mais distantes da origem os segmentos ficam cada vez mais íngremes.
Passo 5
Simetrias e comportamento qualitativo do campo — atalhos visuais.
- A expressão depende de
e , logo o campo é simétrico em relação ao eixo (simetria ) e também em relação ao eixo (simetria ). O campo é simétrico em ambos e simétrico em relação à origem (no sentido que tem o mesmo padrão nos quadrantes). - Como as inclinações crescem com a distância ao centro (raio), as setas formam um padrão de círculos concêntricos com inclinações cada vez maiores ao aumentar o raio.
Passo 6
Comportamento das soluções (curvas integrais) — o que esperar ao traçá-las.
- Existência e unicidade local: a função
é contínua e localmente Lipschitz em , então por cada ponto existe uma única solução passando por esse ponto. - Monotonicidade: como
sempre, cada solução é não decrescente; conforme aumenta, aumenta ou fica constante somente se tocar . - Comportamento perto da origem: para
pequeno, o termo é desprezível frente a quando não é extremamente pequeno; se a condição inicial for então, para pequeno, e integrando obtemos a aproximação Logo a solução que passa por sai horizontalmente e cresce como para pequeno. - Explosão em tempo finito para condições positivas: se
, comparar com a solução da ODE com . Essa solução explícita é que diverge (vai para ) quando . Como um argumento de comparação mostra que a solução com também explode (fica infinita) para algum . Portanto, para condições iniciais positivas espera-se que a solução vá verticalizar-se (tenda a infinito) em uma abscissa finita à direita. - Para condições iniciais negativas a solução cresce (porque
) e pode se aproximar de zero ou atravessá-lo; o termo tende a empurrar a solução para cima conforme cresce.
Passo 7
Como montar o esboço na prova — instrução passo a passo rápida.
- Desenhe alguns círculos concêntricos centrados na origem (isoclinas) para
(ou similares). - Em uma grade de pontos (p.ex.
e ) calcule em cada ponto (usar os exemplos do Passo 4) e desenhe segmentos com essa inclinação. - Observe que todos os segmentos têm inclinação não negativa; ao conectar segmentos seguindo as setas obtém-se curvas que sobem quando
cresce. - Trace algumas curvas integrais passando por pontos escolhidos:
- Por
: curva suave saindo horizontalmente e aumentando como perto da origem. - Por
: curva já com inclinação em , que se torna cada vez mais íngreme e explode para em positivo finito (aproximadamente não depois de pela comparação). - Por
: curva sobe (derivada positiva) e pode atravessar mais adiante, repetindo o padrão simétrico.
- Por
- Marque nas curvas setas orientando
crescente (para a direita) — todas apontam para cima ou horizontais no máximo em .
Passo 8
Resumo didático breve (para decorar e usar na prova)
- Fórmula local do campo: em
a inclinação é . - Isoclinas: círculos
. - Sinais:
(todas as curvas não decrescem). - Origem: única tangente horizontal em
. - Condição inicial positiva: tendência a explosão (verticalização) em tempo finito à direita.
- Técnica prática: desenhar círculos concêntricos e calcular algumas inclinações numa grade para montar o esboço.
Resposta
Campo de direções: em cada ponto
a inclinação é
. As isoclinas são os círculos
(raio
), a inclinação é sempre não negativa e só é zero em
. O campo é simétrico em relação aos eixos e as setas ficam cada vez mais íngremes ao aumentar a distância à origem.
Soluções (curvas integrais): são não decrescentes; a solução passando por tem comportamento inicial aproximado
. Para condições iniciais positivas a solução tende a explodir (ir a
) em um
finito à direita (comparação com
). Para condições iniciais negativas a solução cresce (derivada positiva) podendo atravessar
e seguir o padrão simétrico.
Soluções (curvas integrais): são não decrescentes; a solução passando por