Dadas
e
, ache (gof)(5,1),f(h(3),g(9)),f(g(x),h(y))e
Passo 1
O enunciado dá três funções e pede quatro composições/avaliações. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
-
Dados:
-
. -
. -
.
-
-
O que pedir:
- Calcular
. - Calcular
. - Encontrar a expressão de
. - Encontrar a expressão de
.
- Calcular
Observação: aqui há composições e substituições; em nenhum destes pedidos é preciso resolver equações, apenas aplicar as definições das funções e a regra de composição.
Passo 2
Breve lembrança sobre composição de funções (para usar na solução): quando temos
, significa aplicar primeiro
e depois aplicar
ao resultado de
. Em fórmulas:
Vou aplicar isso diretamente em
. Primeiro calculo
, depois aplico
nesse valor.
Passo 3
Calcular
:
Agora aplicar
ao resultado:
Portanto
.
Passo 4
Agora
. Isso significa calcular as entradas
e
e depois avaliá-las em
.
Calcular
:
Calcular
:
Agora usar
com
e
:
Passo 5
Expressão
: aqui as entradas são funções das variáveis
e
. Vou substituir diretamente.
Calcular as entradas:
Substituir em
:
Observação sobre domínio (importante para provas):
exige
. A expressão
está definida para todo
. Portanto
está definida para
e qualquer
.
Passo 6
Agora
. Primeiro entenda
: aplicar
em
e depois
no resultado. Vou aplicar isso com
.
Calcular
de forma simbólica:
Lembrar da propriedade da raiz quadrada: para
real vale
(a raiz quadrada retorna o valor não-negativo). Portanto
Agora tomar
. Assim
Observação sobre domínio:
sempre é não-negativo, então
pode ser aplicado a
sem restrição adicional; portanto a composição está definida para todos
.
Passo 7
Resumo rápido (para fixar):
- Em composições sempre faça as funções “de dentro para fora”.
- Atenção à função raiz:
, não apenas o próprio argumento (isso é crucial em provas). - Verifique domínio quando houver
.