Dadas f(x, y)=x-y, g(t)=\sqrt{t} e h(s)=s^{2}, ache (gof)(5,1),f(h(3),g(9)),f(g(x),h(y))e \left(g_{o} h\right)(f(x, y))

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede quatro composições/avaliações. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
  • Dados:
    • f(x,y)=x-y.
    • g(t)=\sqrt{t}.
    • h(s)=s^{2}.
  • O que pedir:
    1. Calcular (g\circ f)(5,1).
    2. Calcular f\bigl(h(3),\,g(9)\bigr).
    3. Encontrar a expressão de f\bigl(g(x),\,h(y)\bigr).
    4. Encontrar a expressão de \bigl(g\circ h\bigr)\bigl(f(x,y)\bigr).
Observação: aqui há composições e substituições; em nenhum destes pedidos é preciso resolver equações, apenas aplicar as definições das funções e a regra de composição.

Passo 2

Breve lembrança sobre composição de funções (para usar na solução): quando temos (g\circ f), significa aplicar primeiro f e depois aplicar g ao resultado de f. Em fórmulas:
(g\circ f)(\text{entrada})=g\bigl(f(\text{entrada})\bigr).
Vou aplicar isso diretamente em (g\circ f)(5,1). Primeiro calculo f(5,1), depois aplico g nesse valor.

Passo 3

Calcular f(5,1):
f(5,1)=5-1=4.
Agora aplicar g ao resultado:
g\bigl(f(5,1)\bigr)=g(4)=\sqrt{4}=2.
Portanto (g\circ f)(5,1)=2.

Passo 4

Agora f\bigl(h(3),\,g(9)\bigr). Isso significa calcular as entradas h(3) e g(9) e depois avaliá-las em f.
Calcular h(3):
h(3)=3^{2}=9.
Calcular g(9):
g(9)=\sqrt{9}=3.
Agora usar f(x,y)=x-y com x=h(3)=9 e y=g(9)=3:
f\bigl(h(3),\,g(9)\bigr)=f(9,3)=9-3=6.

Passo 5

Expressão f\bigl(g(x),\,h(y)\bigr): aqui as entradas são funções das variáveis x e y. Vou substituir diretamente.
Calcular as entradas:
g(x)=\sqrt{x},\qquad h(y)=y^{2}.
Substituir em f:
f\bigl(g(x),\,h(y)\bigr)=g(x)-h(y)=\sqrt{x}-y^{2}.
Observação sobre domínio (importante para provas): g(x)=\sqrt{x} exige x\ge 0. A expressão h(y)=y^{2} está definida para todo y\in\mathbb{R}. Portanto f\bigl(g(x),h(y)\bigr)=\sqrt{x}-y^{2} está definida para x\ge 0 e qualquer y.

Passo 6

Agora \bigl(g\circ h\bigr)\bigl(f(x,y)\bigr). Primeiro entenda (g\circ h)(u)=g(h(u)): aplicar h em u e depois g no resultado. Vou aplicar isso com u=f(x,y).
Calcular g(h(u)) de forma simbólica:
h(u)=u^{2}, \qquad g(h(u))=g(u^{2})=\sqrt{u^{2}}.
Lembrar da propriedade da raiz quadrada: para u real vale \sqrt{u^{2}}=|u| (a raiz quadrada retorna o valor não-negativo). Portanto
(g\circ h)(u)=|u|.
Agora tomar u=f(x,y)=x-y. Assim
\bigl(g\circ h\bigr)\bigl(f(x,y)\bigr)=\bigl(g\circ h\bigr)(x-y)=|x-y|.
Observação sobre domínio: h(u)=u^{2} sempre é não-negativo, então g pode ser aplicado a h(u) sem restrição adicional; portanto a composição está definida para todos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 7

Resumo rápido (para fixar):
  • Em composições sempre faça as funções “de dentro para fora”.
  • Atenção à função raiz: \sqrt{(\cdot)^{2}}=|\cdot|, não apenas o próprio argumento (isso é crucial em provas).
  • Verifique domínio quando houver \sqrt{\cdot}.

Resposta

(g\circ f)(5,1)=2
f\bigl(h(3),\,g(9)\bigr)=6
f\bigl(g(x),\,h(y)\bigr)=\sqrt{x}-y^{2}
\bigl(g\circ h\bigr)\bigl(f(x,y)\bigr)=|x-y|

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