Dadas as funções abaixo, calcule os limites indicados, se os limites existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.
03) f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1-x^{2} & \text { se } & x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x=2 \\\ x-1 & \text { se } & x>2\end{array}\right.
a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)
d) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1 - x^{2}, & x<2,\\\\ 0, & x=2,\\\ x - 1, & x>2, \end{cases}
e pede os limites laterais em x=2, o limite em x=2 e o limite em x=0. Para cada caso, vamos usar a “regra de três” da função por partes: aproximar x pelo ramo correspondente e calcular o limite diretamente.

Passo 2

Para \lim_{x\to2^{+}}f(x), usamos o ramo x>2, onde f(x)=x-1. Logo,
\lim_{x\to2^{+}}f(x) =\lim_{x\to2^{+}}(x-1) =2-1 =1.

Passo 3

Para \lim_{x\to2^{-}}f(x), usamos o ramo x<2, onde f(x)=1-x^{2}. Logo,
\lim_{x\to2^{-}}f(x) =\lim_{x\to2^{-}}(1-x^{2}) =1-2^{2} =1-4 =-3.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^{-}}f(x)=-3
são diferentes, o limite \lim_{x\to2}f(x) não existe.

Passo 5

Para \lim_{x\to0}f(x), note que 0<2, então usamos o ramo f(x)=1-x^{2}. Assim,
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}(1-x^{2}) =1-0 =1.

Resposta

a) 1
b) -3
c) não existe (limites laterais diferentes)
d) 1

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