Dadas as funções F(s) abaixo, determine as correspondentes funções anti-transformadas f(t) :
F(s)=s-1s^2+3 s+2

Passo 1

Beleza, aqui temos um problema de Transformada Inversa de Laplace. O enunciado é: “Dada a função
F(s)=s-1s^2+3s+2,
determine a função no tempo que gera essa .
Isso faz parte de Transformadas de Laplace, e para resolver a gente vai precisar de:
1) fatorar o polinômio do denominador,
2) usar decomposição em frações parciais,
3) lembrar a transformada inversa de ser .

Passo 2

Primeiro passo na prática: fatorar o denominador s^2+3s+2 = (s+1)(s+2).
A gente procura dois números que multiplicam 2 e somam 3. São 1 e 2. Então

Passo 3

Agora escrevemos s-1(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2 como soma de frações simples:
s - 1 = A(s+2) + B(s+1)
Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é usar uma identidade:

Passo 4

Vamos achar A(s+2) + B(s+1) = (A+B),s + (2A + B) e . Expandindo:

Como isso tem que ser igual a , igualamos coeficientes:
1) Coeficiente de : .
2) Termo constante: .

Passo 5

Resolvendo o sistema
A + B = 1, 2A + B = -1,
subtraindo a primeira da segunda:
.
Então de vem .

Passo 6

Substituindo na fração parcial:
F(s) = -2s+1 + 3s+2
Agora vem a parte de transformada inversa: a regra básica é
L^-1!tfrac1s + a(t) = e^-a t
Pela linearidade,
L^-1!tfrac-2s+1 = -2,e^-1cdot t, L^-1!tfrac3s+2 = 3,e^-2,t

Resposta

Portanto, a anti-transformada de boxedf(t) = -2,e^-t ;+; 3,e^-2t é

Exercícios relacionados