Dadas as funções
abaixo, determine as correspondentes funções anti-transformadas
:
Passo 1
Beleza, aqui temos um problema de Transformada Inversa de Laplace. O enunciado é: “Dada a função
determine a função no tempo
Isso faz parte de Transformadas de Laplace, e para resolver a gente vai precisar de:
1) fatorar o polinômio do denominador,
2) usar decomposição em frações parciais,
3) lembrar a transformada inversa de
Passo 2
Primeiro passo na prática: fatorar o denominador
.
A gente procura dois números que multiplicam 2 e somam 3. São 1 e 2. Então
A gente procura dois números que multiplicam 2 e somam 3. São 1 e 2. Então
Passo 3
Agora escrevemos
como soma de frações simples:
Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é usar uma identidade:
Passo 4
Vamos achar
e
. Expandindo:
Como isso tem que ser igual a
1) Coeficiente de
2) Termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda:
dá
.
Então de vem
.
Então de
Passo 6
Substituindo na fração parcial:
Agora vem a parte de transformada inversa: a regra básica é
Pela linearidade,
Resposta
Portanto, a anti-transformada de
é